En álgebra abstracta , la condición de cadena ascendente se puede aplicar a los conjuntos de ideales principales de dos lados izquierdo, principal derecho o principal de un anillo , parcialmente ordenados por inclusión . La condición de cadena ascendente en ideales principales (abreviado como ACCP ) se satisface si no hay una cadena infinita estrictamente ascendente de ideales principales del tipo dado (izquierda / derecha / bilateral) en el anillo, o dicho de otra manera, cada cadena ascendente eventualmente es constante.
La condición de cadena descendente de contraparte también se puede aplicar a estos posets, sin embargo, actualmente no hay necesidad de la terminología "DCCP" ya que tales anillos ya se denominan anillos perfectos izquierdo o derecho . (Ver § Anillos no conmutativos a continuación).
Los anillos noetherianos (por ejemplo , dominios ideales principales ) son ejemplos típicos, pero algunos anillos no noetherianos importantes también satisfacen (ACCP), en particular dominios de factorización únicos y anillos perfectos izquierdo o derecho.
Anillos conmutativos
Es bien sabido que una no unidad distinta de cero en un dominio integral noetheriano se convierte en irreductibles . La prueba de esto se basa solo en (ACCP) no (ACC), por lo que en cualquier dominio integral con (ACCP), existe una factorización irreductible. (En otras palabras, cualquier dominio integral con (ACCP) es atómico . Pero lo contrario es falso, como se muestra en ( Grams 1974 )). Tal factorización puede no ser única; la forma habitual de establecer la unicidad de las factorizaciones utiliza el lema de Euclides , que requiere que los factores sean primos en lugar de simplemente irreductibles. De hecho, uno tiene la siguiente caracterización: sea A un dominio integral. Entonces los siguientes son equivalentes.
- A es un UFD.
- A satisface (ACCP) y todo irreducible de A es primo.
- A es un dominio de GCD que satisface (ACCP).
El llamado criterio de Nagata es válido para un dominio integral A satisfactorio (ACCP): Sea S un subconjunto multiplicativamente cerrado de A generado por elementos primos. Si la localización de S -1 A es un UFD, también lo es A . ( Nagata 1975 , Lema 2.1) (Tenga en cuenta que lo contrario es trivial).
Un dominio integral A satisface (ACCP) si y solo si el anillo polinomial A [ t ] lo hace. [1] El hecho análogo es falso si A no es un dominio integral. ( Heinzer y Lantz 1994 )
Un dominio integral donde todo ideal generado finitamente es principal (es decir, un dominio de Bézout ) satisface (ACCP) si y solo si es un dominio ideal principal . [2]
El anillo Z + X Q [ X ] de todos los polinomios racionales con término constante integral es un ejemplo de un dominio integral (en realidad, un dominio GCD) que no satisface (ACCP), para la cadena de ideales principales
es no terminante.
Anillos no conmutativos
En el caso no conmutativo, se hace necesario distinguir la ACCP derecha del ACCP la izquierda . El primero solo requiere el conjunto de ideales de la forma xR para satisfacer la condición de cadena ascendente, y el segundo solo examina el conjunto de ideales de la forma Rx .
Un teorema de Hyman Bass en ( Bass 1960 ) ahora conocido como "Teorema P de Bass" mostró que la condición de cadena descendente en los ideales principales izquierdos de un anillo R es equivalente a que R sea un anillo perfecto derecho . D. Jonah mostró en ( Jonah 1970 ) que existe una conexión de conmutación lateral entre el ACCP y los anillos perfectos. Se demostró que si R es perfecto a la derecha (satisface el DCCP derecho), entonces R satisface el ACCP izquierdo, y simétricamente, si R es perfecto a la izquierda (satisface el DCCP izquierdo), entonces satisface el ACCP derecho. Lo contrario no es cierto, y los cambios anteriores entre "izquierda" y "derecha" no son errores tipográficos.
Ya sea que la ACCP se mantenga en el lado derecho o izquierdo de R , implica que R no tiene un conjunto infinito de idempotentes ortogonales distintos de cero , y que R es un anillo finito de Dedekind . ( Lam 1999 , págs. 230-231)
Referencias
- ^ Gilmer, Robert (1986), "Propiedad E en anillos monoide conmutativos", Anillos de grupo y semigrupo (Johannesburgo, 1985) , North-Holland Math. Stud., 126 , Amsterdam: North-Holland, págs. 13-18, MR 0860048.
- ^ Prueba: En un dominio de Bézout, la ACCP es equivalente a la ACC en ideales generados de forma finita , pero se sabe que esto es equivalente a la ACC en todos los ideales. Por lo tanto, el dominio es Noetheriano y Bézout, por lo tanto, un dominio ideal principal.
- Bass, Hyman (1960), "Dimensión finitista y una generalización homológica de anillos semiprimarios", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , 95 : 466–488, doi : 10.1090 / s0002-9947-1960-0157984-8 , ISSN 0002-9947 , MR 0157984
- Grams, Anne (1974), "Los anillos atómicos y la condición de la cadena ascendente para los ideales principales", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 75 : 321–329, doi : 10.1017 / s0305004100048532 , MR 0340249
- Heinzer, William J .; Lantz, David C. (1994), "ACCP en anillos polinomiales: un contraejemplo", Proc. Amer. Matemáticas. Soc. , 121 (3): 975–977, doi : 10.2307 / 2160301 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2160301 , MR 1232140
- Jonah, David (1970), "Los anillos con la condición mínima para los ideales principales de la derecha tienen la condición máxima para los ideales principales de la izquierda", Math. Z. , 113 : 106–112, doi : 10.1007 / bf01141096 , ISSN 0025-5874 , MR 0260779
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
- Nagata, Masayoshi (1975), "Algunos tipos de extensiones de anillo simples" (PDF) , Houston J. Math. , 1 (1): 131-136, ISSN 0362-1588 , MR 0382248[ enlace muerto permanente ]