En matemáticas , el anillo graduado asociado de un anillo R con respecto a un ideal adecuado I es el anillo graduado :
- .
De manera similar, si M es un módulo R izquierdo , entonces el módulo calificado asociado es el módulo calificado sobre:
- .
Definiciones y propiedades básicas
Para un anillo R e ideal I , la multiplicación ense define de la siguiente manera: Primero, considere elementos homogéneos y y supongo es un representante de una yes un representante de b . Entonces define ser la clase de equivalencia de en . Tenga en cuenta que este es un módulo bien definido. La multiplicación de elementos no homogéneos se define mediante el uso de la propiedad distributiva.
Un anillo o módulo puede estar relacionado con su anillo o módulo graduado asociado a través del mapa de formulario inicial . Deje que M sea un R -módulo y que un ideal de R . Dado, la forma inicial de f en, escrito , es la clase de equivalencia de f endonde m es el número entero máximo tal que. Sipor cada m , luego establezca. El mapa de forma inicial es solo un mapa de conjuntos y generalmente no es un homomorfismo . Para un submódulo , se define como el submódulo de generado por . Este puede no ser el mismo que el submódulo degenerado por las formas solamente iniciales de los generadores de N .
Un anillo hereda algunas propiedades "buenas" de su anillo graduado asociado. Por ejemplo, si R es un anillo local noetheriano yes un dominio integral , entonces R es en sí mismo un dominio integral. [1]
gr de un módulo de cociente
Dejar ser módulos izquierda sobre un anillo R y I un ideal de R . Desde
(la última igualdad es por ley modular ), hay una identificación canónica: [2]
dónde
llamado el submódulo generado por las formas iniciales de los elementos de.
Ejemplos de
Sea U el álgebra envolvente universal de un álgebra de mentirasobre un campo k ; se filtra por grados. El teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt implica quees un anillo polinomial; de hecho, es el anillo de coordenadas .
El álgebra graduada asociada de un álgebra de Clifford es un álgebra exterior; es decir, un álgebra de Clifford degenera en un álgebra exterior .
Generalización a filtraciones multiplicativas
El grado asociado también se puede definir de manera más general para filtraciones descendentes multiplicativas de R (ver también anillo filtrado ). Sea F una cadena descendente de ideales de la forma
tal que . El anillo graduado asociado con esta filtración es. La multiplicación y el mapa de forma inicial se definen como anteriormente.
Ver también
Referencias
- ↑ Eisenbud , Corolario 5.5
- ↑ Zariski – Samuel , Cap. VIII, un párrafo después del Teorema 1.
- Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa . Textos de Posgrado en Matemáticas. 150 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 . ISBN 0-387-94268-8. Señor 1322960 .
- Matsumura, Hideyuki (1989). Teoría del anillo conmutativo . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 8 . Traducido del japonés por M. Reid (Segunda ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6. Señor 1011461 .
- Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1975), Álgebra conmutativa. Vol. II , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8, MR 0389876