Superálgebra
En matemáticas y física teórica , una superálgebra es un álgebra graduada Z 2 . [1] Es decir, es un álgebra sobre un anillo o campo conmutativo con una descomposición en partes "pares" e "impares" y un operador de multiplicación que respeta la calificación.
El prefijo super- proviene de la teoría de la supersimetría en la física teórica. Las superálgebras y sus representaciones, los supermódulos , proporcionan un marco algebraico para formular la supersimetría. El estudio de tales objetos a veces se denomina superálgebra lineal . Las superálgebras también juegan un papel importante en el campo relacionado de la supergeometría donde entran en las definiciones de variedades graduadas , supervariedades y superesquemas .
Sea K un anillo conmutativo . En la mayoría de las aplicaciones, K es un campo de característica 0 , como R o C.
Se dice que los elementos de cada uno de los A i son homogéneos . La paridad de un elemento homogéneo x , denotada por | x |, es 0 o 1 según esté en A 0 o en A 1 . Se dice que los elementos de paridad 0 son pares y los de paridad 1 impares . Si x e y son ambos homogéneos, también lo es el producto xy y .
Una superálgebra asociativa es aquella cuya multiplicación es asociativa y una superálgebra unitaria es aquella con un elemento de identidad multiplicativo . El elemento identidad en una superálgebra unitaria es necesariamente par. A menos que se especifique lo contrario, se supone que todas las superálgebras de este artículo son asociativas y unitarias.
Una superálgebra conmutativa (o álgebra superconmutativa) es aquella que satisface una versión graduada de conmutatividad . Específicamente, A es conmutativo si