En geometría algebraica , las variedades graduadas son extensiones del concepto de variedades basadas en ideas provenientes de la supersimetría y el álgebra superconmutativa . Tanto las variedades graduadas como las supervariedades se expresan en términos de haces de álgebras conmutativas graduadas . Sin embargo, los colectores graduados se caracterizan por poleas en colectores lisos , mientras que los super colectores se construyen pegando poleas de espacios supervectores .
Colectores graduados
Una variedad graduada de dimensiónse define como un espacio anillado localmente dónde es un - colector liso dimensional y es un -hecho de álgebras de Grassmann de rango dónde es el haz de funciones reales suaves en . La gavilla se denomina gavilla de estructura del colector graduado , y el colector se dice que es el cuerpo de . Secciones de la gavilla se denominan funciones graduadas en una variedad graduada . Constituyen un conmutativo graduado-anillo llamado anillo de estructura de . El conocido teorema de Batchelor y el teorema de Serre-Swan caracterizan las variedades graduadas de la siguiente manera.
Teorema de Serre-Swan para variedades graduadas
Dejar ser una variedad graduada. Existe un paquete de vectores con un -Fibra típica dimensional tal que la estructura gavilla de es isomorfo a la estructura del haz de secciones del producto exterior de , cuya fibra típica es el álgebra de Grassmann .
Dejar ser un colector suave. Un conmutativo graduado-El álgebra es isomorfa al anillo de estructura de una variedad graduada con un cuerpo si y solo si es el álgebra exterior de algún proyectivo-módulo de rango finito.
Funciones graduadas
Tenga en cuenta que el isomorfismo de Batchelor mencionado anteriormente no es canónico, pero a menudo se fija desde el principio. En este caso, cada gráfico de trivialización del paquete de vectores produce un dominio dividido de un colector graduado , dónde es la base de la fibra para . Las funciones graduadas en tal gráfico son-funciones valoradas
,
dónde son funciones reales suaves en y son elementos generadores extraños del álgebra de Grassmann .
Campos vectoriales graduados
Dada una variedad graduada , derivaciones graduadas del anillo de estructura de funciones graduadas se denominan campos vectoriales graduados en . Constituyen una verdadera superalgebra de mentira con respecto al supersoporte
,
dónde denota la paridad de Grassmann de . Campos vectoriales calificados leídos localmente
.
Actúan sobre funciones graduadas por la regla
.
Formas exteriores graduadas
La -dual de los campos vectoriales graduados del módulo se llama módulo de monoformas exteriores graduadas . Lectura local de una forma exterior graduada de modo que el producto de la dualidad (interior) entre y toma la forma
.
Provisto con el producto exterior graduado
,
formas uniformes graduadas generan el álgebra exterior graduada de formas exteriores graduadas en un colector graduado. Obedecen la relación
,
dónde denota el grado de forma de . El álgebra exterior graduada es un álgebra diferencial graduada con respecto al diferencial exterior graduado
,
donde las derivaciones graduadas , se clasifican conmutativamente con las formas graduadas y . Están las relaciones familiares
.
Geometría diferencial graduada
En la categoría de variedades graduadas, se consideran los grupos de Lie graduados, los paquetes graduados y los paquetes principales graduados. También se introduce la noción de chorros de colectores graduados, pero difieren de los chorros de paquetes graduados.
Cálculo diferencial gradual
El cálculo diferencial sobre variedades graduadas se formula como el cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas graduadas de manera similar al cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas .
Resultado físico
Debido al teorema de Serre-Swan mencionado anteriormente, los campos clásicos impares en una variedad suave se describen en términos de variedades graduadas. Extendido a variedades graduadas, el bicomplejo variacional proporciona la formulación matemática estricta de la teoría de campo clásica de Lagrange y la teoría de BRST de Lagrange .
Ver también
Referencias
- C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez, The Geometry of Supermanifolds (Kluwer, 1991) ISBN 0-7923-1440-9
- T. Stavracou, Teoría de conexiones en paquetes principales graduados, Rev. Math. Phys. 10 (1998) 47
- B. Kostant, Variedades graduadas, teoría de Lie graduada y precuantización, en Métodos geométricos diferenciales en física matemática , Lecture Notes in Mathematics 570 (Springer, 1977) p. 177
- A. Almorox, Teorías de Supergauge en variedades graduadas, en Métodos geométricos diferenciales en física matemática , Lecture Notes in Mathematics 1251 (Springer, 1987) p. 114
- D. Hernandez Ruiperez, J. Munoz Masque, Cálculo variacional global en variedades graduadas, J. Math. Pures Appl. 63 (1984) 283
- G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashntly , Teoría de campo clásica avanzada (World Scientific, 2009) ISBN 978-981-283-895-7 ; arXiv : math-ph / 0102016 ; arXiv : 1304.1371 .
enlaces externos
- G. Sardanashntly , Conferencias sobre supergeometría, arXiv : 0910.0092 .