En matemáticas , más precisamente en la teoría de la medida , un átomo es un conjunto medible que tiene medida positiva y no contiene ningún conjunto de medida positiva menor. Una medida que no tiene átomos se llama no atómica o sin átomos .
Definición
Dado un espacio medible y una medida en ese espacio, un set en se llama átomo si
y para cualquier subconjunto medible con
el conjunto tiene medida cero.
Si es un átomo, todos los subconjuntos en el -clase de equivalencia de son átomos, y se llama clase atómica. Si es un -medida finita, existen innumerables clases atómicas.
Ejemplos de
- Considere el conjunto X = {1, 2, ..., 9, 10} y deje que el álgebra sigma ser el conjunto potencia de X . Definir la medidade un conjunto como su cardinalidad , es decir, el número de elementos del conjunto. Entonces, cada uno de los singletons { i }, para i = 1,2, ..., 9, 10 es un átomo.
- Considere la medida de Lebesgue en la línea real . Esta medida no tiene átomos.
Medidas atómicas
A -medida finita en un espacio medible Se llama atómico o puramente atómico si cada conjunto mensurable de medidas positivas contiene un átomo. Esto equivale a decir que hay una partición contable de formado por átomos.
Medidas discretas
Una medida atómica se llama discreta si la intersección de los átomos de cualquier clase atómica no es vacía. Es equivalente a decir que es la suma ponderada de innumerables medidas de Dirac, es decir, hay una secuencia de puntos en y una secuencia de números reales positivos (los pesos) tales que , Lo que significa que para cada . Podemos elegir cada punto ser un punto común de los átomos en el -a clase atómica.
Una medida discreta es atómica pero la implicación inversa falla: tome , la -álgebra de subconjuntos contables y co-contables, en subconjuntos contables y en subconjuntos contables. Luego hay una sola clase atómica, la formada por los subconjuntos co-contables. La medida es atómico pero la intersección de los átomos en la clase atómica única está vacía y no se puede poner como una suma de medidas de Dirac.
Si cada átomo es equivalente a un singleton, es discreto si es atómico. En este caso elarriba están los singleton atómicos, por lo que son únicos. Cualquier medida finita en un espacio métrico separable provisto con los conjuntos Borel satisface esta condición. [1]
Medidas no atómicas
Una medida que no tiene átomos se llama no atómica o difusa . En otras palabras, una medida es no atómico si para cualquier conjunto medible con existe un subconjunto B medible de A tal que
Una medida no atómica con al menos un valor positivo tiene un número infinito de valores distintos, como comenzar con un conjunto A con se puede construir una secuencia decreciente de conjuntos mensurables
tal que
Esto puede no ser cierto para las medidas que tienen átomos; vea el primer ejemplo de arriba.
Resulta que las medidas no atómicas en realidad tienen un continuo de valores. Se puede demostrar que si μ es una medida no atómica y A es un conjunto medible conentonces, para cualquier número real b satisfactorio
existe un subconjunto B medible de A tal que
Este teorema se debe a Wacław Sierpiński . [2] [3] Es una reminiscencia del teorema del valor intermedio para funciones continuas.
Bosquejo de la demostración del teorema de Sierpiński sobre medidas no atómicas. Una afirmación un poco más fuerte, que sin embargo facilita la prueba, es que si es un espacio de medida no atómico y , existe una función que es monótono con respecto a la inclusión, y un derecho inverso a . Es decir, existe una familia de un parámetro de conjuntos medibles S (t) tal que para todos
La demostración se sigue fácilmente del lema de Zorn aplicado al conjunto de todas las secciones parciales monótonas para :
ordenados por inclusión de gráficos, Entonces es estándar mostrar que cada cadena en tiene un límite superior en , y que cualquier elemento máximo de tiene dominio probando el reclamo.
Ver también
- Átomo (teoría del orden) : un concepto análogo en la teoría del orden
- Función delta de Dirac
- Evento elemental , también conocido como evento atómico
Notas
- ^ Kadets, Vladimir (2018). Un curso de análisis funcional y teoría de la medida . Suiza: Springer. pag. 45. ISBN 978-3-319-92003-0.
- ^ Sierpinski, W. (1922). "Sur les fonctions d'ensemble aditivos y continúa" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (en francés). 3 : 240–246.
- ^ Fryszkowski, Andrzej (2005). Teoría del punto fijo para conjuntos descomponibles (teoría topológica del punto fijo y sus aplicaciones) . Nueva York: Springer. pag. 39. ISBN 1-4020-2498-3.
Referencias
- Bruckner, Andrew M .; Bruckner, Judith B .; Thomson, Brian S. (1997). Análisis real . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice-Hall. pag. 108 . ISBN 0-13-458886-X.
- Butnariu, Dan; Klement, EP (1993). Medidas triangulares basadas en normas y juegos con coaliciones difusas . Dordrecht: Académico Kluwer. pag. 87. ISBN 0-7923-2369-6.
enlaces externos
- Atom en The Encyclopedia of Mathematics