En matemáticas , más específicamente en la teoría de anillos , un dominio atómico o dominio de factorización es un dominio integral en el que cada no unidad distinta de cero puede escribirse de al menos una forma como un producto finito de elementos irreducibles . Los dominios atómicos son diferentes de los dominios de factorización únicos en que esta descomposición de un elemento en irreducibles no necesita ser única; Dicho de otra manera, un elemento irreductible no es necesariamente un elemento primordial .
Ejemplos importantes de dominios atómicos incluyen la clase de todos los dominios de factorización únicos y todos los dominios noetherianos . De manera más general, cualquier dominio integral que satisfaga la condición de cadena ascendente según los ideales principales (ACCP) es un dominio atómico. Aunque se afirma que lo contrario es válido en el artículo de Cohn, [1] se sabe que esto es falso. [2]
El término "atómico" se debe a PM Cohn , quien llamó "átomo" a un elemento irreducible de un dominio integral.
En esta sección, un anillo puede verse simplemente como un conjunto abstracto en el que se pueden realizar las operaciones de suma y multiplicación; análogo a los números enteros .
El anillo de números enteros (es decir, el conjunto de números enteros con las operaciones naturales de suma y multiplicación) satisface muchas propiedades importantes. Una de esas propiedades es el teorema fundamental de la aritmética . Por lo tanto, cuando se consideran anillos abstractos, una pregunta natural es en qué condiciones se cumple dicho teorema. Dado que un dominio de factorización único es precisamente un anillo en el que se cumple un análogo del teorema fundamental de la aritmética, esta pregunta se responde fácilmente. Sin embargo, uno nota que hay dos aspectos del teorema fundamental de la aritmética: primero, que cualquier entero es el producto finito de números primos , y segundo, que este producto es único hasta el reordenamiento (y la multiplicación por unidades). Por lo tanto, también es natural preguntarse bajo qué condiciones se pueden "descomponer" elementos particulares de un anillo sin requerir unicidad. El concepto de dominio atómico aborda esto.
Sea R un dominio integral . Si cada no cero no unidad de x de R se puede escribir como un producto de elementos irreducibles , R se conoce como un dominio atómica. (El producto es necesariamente finito, ya que los productos infinitos no están definidos en la teoría de anillos . Se permite que dicho producto involucre el mismo elemento irreducible más de una vez como factor). Cualquier expresión de este tipo se llama factorización de x .