Número automórfico

Este artículo incluye una lista de referencias , lecturas relacionadas o enlaces externos , pero sus fuentes siguen sin estar claras porque carece de citas en línea . Ayude a mejorar este artículo introduciendo citas más precisas. ( Marzo de 2013 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

En matemáticas , un número automórfico (a veces denominado número circular ) es un número natural en una base numérica determinada cuyo cuadrado "termina" en los mismos dígitos que el número en sí. ${\displaystyle b}$

Definición y propiedades

Dada una base numérica , un número natural con dígitos es un número automórfico si es un punto fijo de la función polinomial sobre el módulo del anillo de enteros . Como límite inverso de is , el anillo de enteros -ádicos , los números automórficos se utilizan para encontrar las representaciones numéricas de los puntos fijos de over . ${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /b^{k}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b^{k}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /b^{k}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{b}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{b}}$

Por ejemplo, con , hay cuatro puntos fijos de 10 ádicos , los últimos 10 dígitos de los cuales son uno de estos ${\displaystyle b=10}$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle \ldots 0000000000}$

${\displaystyle \ldots 0000000001}$

${\displaystyle \ldots 8212890625}$(secuencia A018247 en la OEIS )

${\displaystyle \ldots 1787109376}$(secuencia A018248 en la OEIS )

Por lo tanto, los números automórficos en base 10 son 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 18212890625 , 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376, 59918212890625, ... (secuencia A003226 en la OEIS ).

Un punto fijo de es un cero de la función . En el anillo del módulo de números enteros , hay ceros a , donde la función omega prima es el número de factores primos distintos en . Un elemento en es un cero de si y solo si o para todos . Dado que hay dos valores posibles en , y hay tales , hay ceros de , y por lo tanto hay puntos fijos de . Según el lema de Hensel , si hay ceros o puntos fijos de una función polinomial módulo${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-x}$ B {\ Displaystyle b} ${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$${\displaystyle g(x)=x^{2}-x}$ ${\displaystyle \omega (b)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {Z} /b\mathbb {Z} }$${\displaystyle g(x)=x^{2}-x}$ ${\displaystyle x\equiv 0{\bmod {p}}^{v_{p}(b)}}$${\displaystyle x\equiv 1{\bmod {p}}^{v_{p}(b)}}$${\displaystyle p|x}$${\displaystyle \lbrace 0,1\rbrace }$${\displaystyle \omega (b)}$${\displaystyle p|x}$${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$${\displaystyle g(x)=x^{2}-x}$${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b}$, entonces hay ceros correspondientes o puntos fijos de la misma función módulo cualquier potencia de , y esto sigue siendo cierto en el límite inverso . Por lo tanto, en cualquier base dada hay puntos fijos -ádicos de .${\displaystyle k}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$ ${\displaystyle b}$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

Como 0 es siempre un divisor de cero , 0 y 1 son siempre puntos fijos de , y 0 y 1 son números automórficos en cada base. Estas soluciones se denominan números automórficos triviales . Si es una potencia prima , entonces el anillo de los números -ádicos no tiene divisores de cero distintos de 0, por lo que los únicos puntos fijos de son 0 y 1. Como resultado, los números automórficos no triviales , los distintos de 0 y 1, solo existen cuando la base tiene al menos dos factores primos distintos. ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle b}$ B {\ Displaystyle b} ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle b}$

Números automórficos en base b

Todos los números -adic se representan en base , usando A − Z para representar los valores de dígitos del 10 al 35.${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle b}$	Factores primos de ${\displaystyle b}$	Puntos fijos en de${\displaystyle \mathbb {Z} /b\mathbb {Z} }$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$	${\displaystyle b}$-puntos fijos ádicos de ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$	Números automórficos en base ${\displaystyle b}$
6	2, 3	0, 1, 3, 4	${\displaystyle \ldots 0000000000}$ ${\displaystyle \ldots 0000000001}$ ${\displaystyle \ldots 2221350213}$ ${\displaystyle \ldots 3334205344}$	0, 1, 3, 4, 13, 44, 213, 344, 5344, 50213, 205344, 350213, 1350213, 4205344, 21350213, 34205344, 221350213, 334205344, 2221350213, 3334205344, ...
10	2, 5	0, 1, 5, 6	${\displaystyle \ldots 0000000000}$ ${\displaystyle \ldots 0000000001}$ ${\displaystyle \ldots 8212890625}$ ${\displaystyle \ldots 1787109376}$	0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, ...
12	2, 3	0, 1, 4, 9	${\displaystyle \ldots 0000000000}$ ${\displaystyle \ldots 0000000001}$ ${\displaystyle \ldots 21{\text{B}}61{\text{B}}3854}$ ${\displaystyle \ldots 9{\text{A}}05{\text{A}}08369}$	0, 1, 4, 9, 54, 69, 369, 854, 3854, 8369, B3854, 1B3854, A08369, 5A08369, 61B3854, B61B3854, 1B61B3854, A05A08369, 21B61B3854, 9A05A08369, ...
14	2, 7	0, 1, 7, 8	${\displaystyle \ldots 0000000000}$ ${\displaystyle \ldots 0000000001}$ ${\displaystyle \ldots 7337{\text{A}}{\text{A}}0{\text{C}}37}$ ${\displaystyle \ldots 6{\text{A}}{\text{A}}633{\text{D}}1{\text{A}}8}$	0, 1, 7, 8, 37, A8, 1A8, C37, D1A8, 3D1A8, A0C37, 33D1A8, AA0C37, 633D1A8, 7AA0C37, 37AA0C37, A633D1A8, 337AA0C37, AA633D1A8, 6A0AC633D
15	3, 5	0, 1, 6, 10	${\displaystyle \ldots 0000000000}$ ${\displaystyle \ldots 0000000001}$ ${\displaystyle \ldots 624{\text{D}}4{\text{B}}{\text{D}}{\text{A}}86}$ ${\displaystyle \ldots 8{\text{C}}{\text{A}}1{\text{A}}3146{\text{A}}}$	0, 1, 6, A, 6A, 86, 46A, A86, 146A, DA86, 3146A, BDA86, 4BDA86, A3146A, 1A3146A, D4BDA86, 4D4BDA86, A1A3146A, 24D4BDA86, CA1A3146A, 624D4BDA3146, 8CA1 ...
18	2, 3	0, 1, 9, 10	... 000000 ... 000001 ... 4E1249 ... D3GFDA
20	2, 5	0, 1, 5, 16	... 000000 ... 000001 ... 1AB6B5 ... I98D8G
21	3, 7	0, 1, 7, 15	... 000000 ... 000001 ... 86H7G7 ... CE3D4F
22	2, 11	0, 1, 11, 12	... 000000 ... 000001 ... 8D185B ... D8KDGC
24	2, 3	0, 1, 9, 16	... 000000 ... 000001 ... E4D0L9 ... 9JAN2G
26	2, 13	0, 1, 13, 14	... 0000 ... 0001 ... 1G6D ... O9JE
28	2, 7	0, 1, 8, 21	... 0000 ... 0001 ... AAQ8 ... HH1L
30	2, 3, 5	0, 1, 6, 10, 15, 16, 21, 25	... 0000 ... 0001 ... B2J6 ... H13A ... 1Q7F ... S3MG ... CSQL ... IRAP
33	3, 11	0, 1, 12, 22	... 0000 ... 0001 ... 1KPM ... VC7C
34	2, 17	0, 1, 17, 18	... 0000 ... 0001 ... 248H ... VTPI
35	5, 7	0, 1, 15, 21	... 0000 ... 0001 ... 5MXL ... TC1F
36	2, 3	0, 1, 9, 28	... 0000 ... 0001 ... DN29 ... MCXS

Extensiones

Los números automórficos pueden extenderse a cualquier función polinomial de grado con coeficientes b-ádicos . Estos números automórficos generalizados forman un árbol .${\displaystyle n}$ ${\textstyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$${\displaystyle a_{i}}$

a -números automórficos

Un - número automórfico ocurre cuando la función polinomial es${\displaystyle a}$${\displaystyle f(x)=ax^{2}}$

Por ejemplo, con y , como hay dos puntos fijos para en ( y ), según el lema de Hensel hay dos puntos fijos 10-ádicos para , ${\displaystyle b=10}$${\displaystyle a=2}$${\displaystyle f(x)=2x^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /10\mathbb {Z} }$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=8}$${\displaystyle f(x)=2x^{2}}$

${\displaystyle \ldots 0000000000}$

${\displaystyle \ldots 0893554688}$

entonces los 2 números automórficos en base 10 son 0, 8, 88, 688, 4688 ...

Números trimórficos

Un número trimórfico o un número esférico ocurre cuando la función polinomial es . ^[1] Todos los números automórficos son trimórficos. Los términos circular y esférico se usaban anteriormente para el caso ligeramente diferente de un número cuyas potencias tienen todas el mismo último dígito que el número en sí. ^[2]${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

Para la base , los números trimórficos son:${\displaystyle b=10}$

0, 1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 749, 751, 875, 999, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999, ... (secuencia A033819 en la OEIS )

Para la base , los números trimórficos son: ${\displaystyle b=12}$

0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, B, 15, 47, 53, 54, 5B, 61, 68, 69, 75, A7, B3, BB, 115, 253, 368, 369, 4A7, 5BB, 601, 715, 853, 854, 969, AA7, BBB, 14A7, 2369, 3853, 3854, 4715, 5BBB, 6001, 74A7, 8368, 8369, 9853, A715, BBBB, ...

Ejemplo de programación

def  hensels_lemma ( polynomial_function ,  de base :  int ,  potencia :  int ):  "" "el lema de Hensel." ""  si  el poder  ==  0 :  retorno  [ 0 ]  si  el poder  >  0 :  raíces  =  hensels_lemma ( polynomial_function ,  la base ,  el poder  -  1 )  new_roots  =  []  para  raíz  en  raíces :  para  i  en gama ( 0 ,  de base ):  new_i  =  i  *  de base  **  ( potencia  -  1 )  +  raíz  new_root  =  polynomial_function ( new_i )  %  pow ( de base ,  potencia )  si  new_root  ==  0 :  new_roots . append ( new_i )  return  new_rootsbase  =  10 dígitos  =  10def  polinomio_automórfico ( x ):  return  x  **  2  -  xpara  i  en el  rango ( 1 ,  dígitos  +  1 ):  print ( hensels_lemma ( automorphic_polynomial ,  base ,  i ))

Ver también

• Dinámica aritmética
• Número de Kaprekar
• Número p-adic
• Análisis p-adic
• Divisor cero

Referencias

1. Véase el artículo de Gérard Michon en
2. "número esférico" . Diccionario de inglés de Oxford (edición en línea). Prensa de la Universidad de Oxford. (Se requiere suscripción o membresía en una institución participante ).

• ejemplos de números 1-automórficos en PlanetMath .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número automórfico" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Número trimórfico" . MathWorld .