Teoría de conjuntos de Von Neumann – Bernays – Gödel

En los fundamentos de las matemáticas , la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel ( NBG ) es una teoría de conjuntos axiomática que es una extensión conservadora de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel-Choice (ZFC). NBG introduce la noción de clase , que es una colección de conjuntos definidos por una fórmula cuyos cuantificadores varían solo entre conjuntos. NBG puede definir clases que son más grandes que los conjuntos, como la clase de todos los conjuntos y la clase de todos los ordinales . Teoría de conjuntos de Morse-Kelley(MK) permite definir clases mediante fórmulas cuyos cuantificadores se extienden por clases. NBG es finitamente axiomatizable, mientras que ZFC y MK no lo son.

Un teorema clave de NBG es el teorema de existencia de clase, que establece que para cada fórmula cuyos cuantificadores se extienden solo entre conjuntos, hay una clase que consta de los conjuntos que satisfacen la fórmula. Esta clase se crea reflejando la construcción paso a paso de la fórmula con clases. Dado que todas las fórmulas de la teoría de conjuntos se construyen a partir de dos tipos de fórmulas atómicas ( pertenencia e igualdad ) y un número finito de símbolos lógicos , solo se necesitan un número finito de axiomas para construir las clases que los satisfacen. Ésta es la razón por la que NBG es finitamente axiomatizable. Las clases también se utilizan para otras construcciones, para manejar las paradojas de la teoría de conjuntos y para enunciar el axioma de la elección global., que es más fuerte que el axioma de elección de ZFC .

John von Neumann introdujo las clases en la teoría de conjuntos en 1925. Las nociones primitivas de su teoría eran función y argumento . Usando estas nociones, definió clase y escenario. ^[1] Paul Bernays reformuló la teoría de von Neumann tomando clases y estableciendo nociones primitivas. ^[2] Kurt Gödel simplificó la teoría de Bernays por su prueba de coherencia relativa del axioma de elección y la hipótesis del continuo generalizado . ^[3]

Una vez que las clases se agregan al lenguaje de ZFC, es fácil transformar ZFC en una teoría de conjuntos con clases. Primero, se agrega el esquema de axioma de comprensión de clase. Este axioma estados de esquema: Para cada fórmula que cuantifica solamente más conjuntos, existe una clase que consiste en los - tuplas que satisfacen la fórmula, es decir, A continuación, el esquema del axioma de sustitución se sustituye por un único axioma que utiliza una clase. Finalmente, el axioma de extensionalidad de ZFC se modifica para manejar clases: si dos clases tienen los mismos elementos, entonces son idénticas. Los otros axiomas de ZFC no se modifican. ^[8]${\ Displaystyle \ phi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ forall x_ {1} \ cdots \, \ forall x_ {n} [(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in A \ iff \ phi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})].}$

Esta teoría no está finitamente axiomatizada. El esquema de reemplazo de ZFC ha sido reemplazado por un solo axioma, pero se ha introducido el esquema de axioma de comprensión de clases.

Historia de los enfoques que llevaron a la teoría de conjuntos de NBG

John von Neumann

Paul Bernays

Kurt Gödel, c. 1926