En matemáticas , las transformaciones de Bäcklund o transformaciones de Bäcklund (nombradas en honor al matemático sueco Albert Victor Bäcklund ) relacionan ecuaciones diferenciales parciales y sus soluciones. Son una herramienta importante en la teoría de solitones y sistemas integrables . Una transformada de Bäcklund es típicamente un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden que relacionan dos funciones y, a menudo, dependen de un parámetro adicional. Implica que las dos funciones satisfacen por separado ecuaciones diferenciales parciales, y se dice que cada una de las dos funciones es una transformación de Bäcklund de la otra.
Una transformada de Bäcklund que relaciona soluciones de la misma ecuación se denomina transformada invariante de Bäcklund o transformada auto-Bäcklund . Si se puede encontrar tal transformada, se puede deducir mucho sobre las soluciones de la ecuación, especialmente si la transformada de Bäcklund contiene un parámetro. Sin embargo, no se conoce una forma sistemática de encontrar transformadas de Bäcklund.
Historia
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Las transformadas de Bäcklund tienen su origen en la geometría diferencial : el primer ejemplo no trivial es la transformación de superficies pseudoesféricas introducidas por L. Bianchi y AV Bäcklund en la década de 1880. Esta es una construcción geométrica de una nueva superficie pseudoesférica a partir de tal superficie inicial usando una solución de una ecuación diferencial lineal . Las superficies pseudoesféricas pueden describirse como soluciones de la ecuación seno-Gordon y, por lo tanto, la transformación de superficies de Bäcklund puede verse como una transformación de soluciones de la ecuación seno-Gordon.
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
El ejemplo prototípico de una transformada de Bäcklund es el sistema Cauchy-Riemann
que relaciona las partes real e imaginaria y de una función holomorfa . Este sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales parciales tiene las siguientes propiedades.
- Si y son soluciones de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces es una solución de la ecuación de Laplace
(es decir, una función armónica ), y también. Esto se sigue claramente al diferenciar las ecuaciones con respecto a y y usando el hecho de que - Por el contrario, si es una solución de la ecuación de Laplace, entonces existen funciones que resuelven las ecuaciones de Cauchy-Riemann junto con .
Por lo tanto, en este caso, una transformación de Bäcklund de una función armónica es solo una función armónica conjugada . Las propiedades anteriores significan, más precisamente, que la ecuación de Laplace para y la ecuación de Laplace para son las condiciones de integrabilidad para resolver las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Estos son los rasgos característicos de una transformada de Bäcklund. Si tenemos una ecuación diferencial parcial en, y una transformada de Bäcklund de a , podemos deducir una ecuación diferencial parcial satisfecha por .
Este ejemplo es bastante trivial, porque las tres ecuaciones (la ecuación para , la ecuación para y la transformada de Bäcklund que los relaciona) son lineales. Las transformadas de Bäcklund son más interesantes cuando solo una de las tres ecuaciones es lineal.
La ecuación seno-Gordon
Suponga que u es una solución de la ecuación seno-Gordon
Entonces el sistema
donde a es un parámetro arbitrario, se puede resolver para una función v que también satisfará la ecuación seno-Gordon. Este es un ejemplo de una transformación auto-Bäcklund.
Al usar un sistema matricial, también es posible encontrar una transformada lineal de Bäcklund para soluciones de la ecuación seno-Gordon.
La ecuación de Liouville
Una transformada de Bäcklund puede convertir una ecuación diferencial parcial no lineal en una ecuación diferencial parcial lineal más simple.
Por ejemplo, si u y v están relacionadas a través de la Bäcklund transformar
donde a es un parámetro arbitrario, y si u es una solución de la ecuación de Liouville
entonces v es una solución de la ecuación mucho más simple,, y viceversa.
Luego, podemos resolver la ecuación de Liouville (no lineal) trabajando con una ecuación lineal mucho más simple.
Ver también
- Sistema integrable
- Ecuación de Korteweg – de Vries
- Transformación de Darboux
Referencias
- Hermann, Robert (1976). La geometría de ecuaciones diferenciales no lineales, transformaciones de Bäcklund y solitones . Math Sci Press. ISBN 978-0-915692-16-3.
- Rogers, C .; Shadwick, WF (12 de mayo de 1982), Transformaciones de Bäcklund y sus aplicaciones (1ª ed.), Academic Press, ISBN 0-12-592850-5
- Rogers, C .; Schief, Wolfgang Karl (2002), transformaciones de Bäcklund y Darboux , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-01288-1, extractoCS1 maint: posdata ( enlace )
- AD Polyanin y VF Zaitsev, Manual de ecuaciones diferenciales parciales no lineales , Chapman & Hall / CRC Press, 2004.