Ecuación de Liouville

Ecuación en geometría diferencial

^[1] Para la ecuación de Liouville en sistemas dinámicos, consulte el teorema de Liouville (hamiltoniano) .

Para la ecuación de Liouville en mecánica cuántica, consulte la ecuación de Von Neumann .

Para la ecuación de Liouville en el espacio euclidiano, consulte la ecuación de Liouville-Bratu-Gelfand .

En geometría diferencial , la ecuación de Liouville , llamada así por Joseph Liouville , ^{[2] [3]} es la ecuación diferencial parcial no lineal satisfecha por el factor conforme f de una métrica f ² (d x ²  + d y ² ) en una superficie de constante gaussiana curvatura K :

${\displaystyle \Delta _{0}\log f=-Kf^{2},}$

donde ∆ ₀ es el operador plano de Laplace

${\displaystyle \Delta _{0}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}=4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}.}$

La ecuación de Liouville aparece en el estudio de coordenadas isotérmicas en geometría diferencial: las variables independientes x, y son las coordenadas, mientras que f puede describirse como el factor conforme con respecto a la métrica plana. Ocasionalmente, es el cuadrado f ^{2 el} que se conoce como factor conforme, en lugar de f en sí mismo.

La ecuación de Liouville también fue tomada como ejemplo por David Hilbert en la formulación de su decimonoveno problema . ^[4]

Otras formas comunes de la ecuación de Liouville

Al usar el cambio de variables log  f  ↦  u , se obtiene otra forma común de la ecuación de Liouville:

${\displaystyle \Delta _{0}u=-Ke^{2u}.}$

Otras dos formas de la ecuación, comúnmente encontradas en la literatura, ^[5] se obtienen usando la variante ligera 2 log  f  ↦  u del cambio previo de variables y el cálculo de Wirtinger : ^[6] ${\displaystyle \Delta _{0}u=-2Ke^{u}\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}u}{{\partial z}{\partial {\bar {z}}}}}=-{\frac {K}{2}}e^{u}.}$

Nótese que es exactamente en la primera de las dos formas precedentes donde David Hilbert citó la ecuación de Liouville en la formulación de su decimonoveno problema . ^{[4] [a]}

Una formulación que utiliza el operador de Laplace-Beltrami

De una manera más invariante, la ecuación se puede escribir en términos del operador intrínseco de Laplace-Beltrami

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{f^{2}}}\Delta _{0}}$

como sigue:

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }\log \;f=-K.}$

Propiedades

Relación con las ecuaciones de Gauss-Codazzi

La ecuación de Liouville es equivalente a las ecuaciones de Gauss-Codazzi para inmersiones mínimas en el espacio tridimensional, cuando la métrica se escribe en coordenadas isotérmicas tales que el diferencial de Hopf es .${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathrm {d} z^{2}}$

Solución general de la ecuación

En un dominio Ω simplemente conectado , la solución general de la ecuación de Liouville se puede encontrar usando el cálculo de Wirtinger. ^[7] Su forma viene dada por

${\displaystyle u(z,{\bar {z}})=\ln \left(4{\frac {\left|{\mathrm {d} f(z)}/{\mathrm {d} z}\right|^{2}}{(1+K\left|f(z)\right|^{2})^{2}}}\right)}$

donde f  ( z ) es cualquier función meromórfica tal que

• d f / d z ( z ) ≠ 0para cada z  ∈ Ω. ^[7]
• f  ( z ) tiene como mucho polos simples en Ω . ^[7]

Solicitud

La ecuación de Liouville se puede utilizar para probar los siguientes resultados de clasificación para superficies:

Teorema . ^[8] Una superficie en el espacio tridimensional euclidiano con métrica d l ²  =  g ( z ,_z) d z d_z, y con una curvatura escalar constante, K es localmente isométrica a:

1. la esfera si K  > 0 ;
2. el plano euclidiano si K  = 0 ;
3. el plano lobachevskiano si K  <0 .

Ver también

• Teoría de campo de Liouville , una teoría de campo conforme bidimensional cuya ecuación de movimiento clásica es una generalización de la ecuación de Liouville

Notas

1. Hilbert asume K = -1/2 , por lo tanto, la ecuación aparece como la siguiente ecuación elíptica semilineal ^{[ desambiguación necesaria ]} :${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=e^{f}}$

Citas

1. Liouville, Joseph (1838). "Sur la Theorie de la Variation des constantes arbitraires". Journal de Mathematiques pures et appliquees . 3 : 342–349.
2. Liouville, José. "Sur la Theorie de la Variation des constantes arbitraires" (PDF) . Journal de mathématiques pures et appliquées . 3 : 342–349.
3. Ehrendorfer, Martin. "La ecuación de Liouville: antecedentes - antecedentes históricos". La ecuación de Liouville en la predictibilidad atmosférica (PDF) . págs. 48–49.
4. Ver ( Hilbert 1900 , p. 288): Hilbert no cita explícitamente a Joseph Liouville.
5. Ver ( Dubrovin, Novikov & Fomenko 1992 , p. 118) y ( Henrici 1993 , p. 294).
6. Ver ( Henrici 1993 , págs. 287-294).
7. Ver ( Henrici 1993 , p. 294).
8. Véase ( Dubrovin, Novikov y Fomenko 1992 , págs. 118-120).

Trabajos citados

• Dubrovin, BA; Novikov, SP ; Fomenko, AT (1992) [Publicado por primera vez en 1984], Modern Geometry - Methods and Applications. Parte I. La geometría de superficies, grupos de transformación y campos , Estudios de posgrado en matemáticas , 93 (2ª ed.), Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer Verlag, págs. Xv + 468, ISBN 3-540-97663-9, MR  0736837 , Zbl  0.751,53001.
• Henrici, Peter (1993) [Publicado por primera vez en 1986], Applied and Computational Complex Analysis , Wiley Classics Library, 3 (Reimpresión ed.), Nueva York - Chichester - Brisbane - Toronto - Singapur: John Wiley & Sons, págs. X + 637 , ISBN 0-471-58986-1, MR  0822470 , Zbl  1107.30300.
• Hilbert, David (1900), "Mathematische Probleme" , Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (en alemán) (3): 253-297, JFM  31.0068.03, traducido al inglés por Mary Frances Winston Newson como Hilbert, David (1902), "Mathematical Problems" , Bulletin of the American Mathematical Society , 8 (10): 437–479, doi : 10.1090 / S0002-9904-1902-00923- 3 , JFM 33.0976.07 , MR 1557926  .