En matemáticas , la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff es la solución para a la ecuación
para X e Y posiblemente no conmutativas en el álgebra de Lie de un grupo de Lie . Hay varias formas de escribir la fórmula, pero todas finalmente producen una expresión para en términos algebraicos de Lie, es decir, como una serie formal (no necesariamente convergente) en y y conmutadores iterados de los mismos. Los primeros términos de esta serie son:
dónde ""indica términos que involucran conmutadores superiores de y . Si y son elementos suficientemente pequeños del álgebra de Lie de un grupo de mentiras , la serie es convergente. Mientras tanto, cada elemento suficientemente cerca de la identidad en se puede expresar como por un pequeño en . Así, podemos decir que cerca de la identidad la multiplicación de grupos en-Escrito como —Se puede expresar en términos puramente algebraicos de Lie. La fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff se puede utilizar para dar pruebas comparativamente simples de resultados profundos en la correspondencia del grupo de Lie con el álgebra de Lie .
Si y son suficientemente pequeños matrices, entonces se puede calcular como el logaritmo de , donde las exponenciales y el logaritmo se pueden calcular como series de potencias. El punto de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff es entonces la afirmación altamente no obvia de que puede expresarse como una serie en conmutadores repetidos de y .
Se pueden encontrar exposiciones modernas de la fórmula, entre otros lugares, en los libros de Rossmann [1] y Hall. [2]
Historia
La fórmula lleva el nombre de Henry Frederick Baker , John Edward Campbell y Felix Hausdorff, quienes establecieron su forma cualitativa, es decir, que solo se necesitan conmutadores y conmutadores de conmutadores, ad infinitum, para expresar la solución. Una declaración anterior de la forma fue esbozada por Friedrich Schur en 1890 [3] donde se da una serie de potencias convergentes, con términos definidos de forma recursiva. [4] Esta forma cualitativa es la que se utiliza en las aplicaciones más importantes, como las pruebas relativamente accesibles de la correspondencia de Lie y en la teoría cuántica de campos . Siguiendo a Schur, Campbell [5] (1897) lo anotó en forma impresa ; elaborado por Henri Poincaré [6] (1899) y Baker (1902); [7] y sistematizado geométricamente, y vinculado a la identidad Jacobi por Hausdorff (1906). [8] La primera fórmula explícita real, con todos los coeficientes numéricos, se debe a Eugene Dynkin (1947). [9] La historia de la fórmula se describe en detalle en el artículo de Achilles y Bonfiglioli [10] y en el libro de Bonfiglioli y Fulci. [11]
Formas explícitas
Para muchos propósitos, solo es necesario saber que una expansión para en términos de conmutadores iterados de y existe; los coeficientes exactos suelen ser irrelevantes. (Ver, por ejemplo, la discusión de la relación entre el grupo de Lie y los homomorfismos del álgebra de Lie en la Sección 5.2 del libro de Hall, [2] donde los coeficientes precisos no juegan ningún papel en el argumento). Martin Eichler dio una prueba de existencia notablemente directa , [12] consulte también la sección "Resultados de existencia" a continuación.
En otros casos, es posible que se necesite información detallada sobre y por lo tanto es deseable calcular lo más explícitamente posible. Existen numerosas fórmulas; describiremos dos de los principales (la fórmula de Dynkin y la fórmula integral de Poincaré) en esta sección.
Fórmula de Dynkin
Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie. Dejar
ser el mapa exponencial . La siguiente fórmula combinatoria general fue introducida por Eugene Dynkin (1947), [13] [14]
donde la suma se realiza sobre todos los valores no negativos de y , y se ha utilizado la siguiente notación:
La serie no es convergente en general; es convergente (y la fórmula indicada es válida) para todo lo suficientemente pequeño y . Dado que [ A , A ] = 0 , el término es cero si o si y . [15]
Los primeros términos son bien conocidos, con todos los términos de orden superior que involucran a [ X , Y ] y sus anidaciones de conmutador (por lo tanto, en el álgebra de Lie ):
Lo anterior enumera todos los sumandos de orden 5 o inferior (es decir, aquellos que contienen 5 o menos X e Y). La simetría X ↔ Y (anti -) / en órdenes alternos de la expansión, se sigue de Z ( Y , X ) = - Z (- X , - Y ) . Una prueba elemental completa de esta fórmula se puede encontrar aquí .
Una fórmula integral
Hay muchas otras expresiones para , muchos de los cuales se utilizan en la literatura de física. [16] [17] Una fórmula integral popular es [18] [19]
que involucra la función generadora de los números de Bernoulli ,
utilizado por Poincaré y Hausdorff. [nb 1]
Ilustración del grupo Matrix Lie
Para un grupo de Matrix Lie el álgebra de Lie es el espacio tangente de la identidad I , y el conmutador es simplemente [ X , Y ] = XY - YX ; el mapa exponencial es el mapa exponencial estándar de matrices ,
Cuando uno resuelve para Z en
usando las expansiones de serie para exp y log one se obtiene una fórmula más simple:
Los términos de primer, segundo, tercer y cuarto orden son:
Las fórmulas para los diversos La de no es la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff. Más bien, la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff es una de varias expresiones paraes en términos de conmutadores repetidos de y . El punto es que está lejos de ser obvio que sea posible expresar cadaen términos de conmutadores. (Se invita al lector, por ejemplo, a verificar mediante cálculo directo que es expresable como una combinación lineal de los dos conmutadores de tercer orden no triviales de y , a saber y .) El resultado general de que cada es expresable como una combinación de conmutadores fue mostrado de una manera elegante y recursiva por Eichler. [12]
Una consecuencia de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff es el siguiente resultado sobre la traza :
Es decir, ya que cada con se puede expresar como una combinación lineal de conmutadores, la traza de cada uno de esos términos es cero.
Cuestiones de convergencia
Suponer y son las siguientes matrices en el álgebra de Lie (el espacio de matrices con traza cero):
- .
Luego
Entonces no es difícil demostrar [20] que no existe una matriz en con . (Se pueden encontrar ejemplos similares en el artículo de Wei. [21] )
Este sencillo ejemplo ilustra que las diversas versiones de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, que dan expresiones para Z en términos de corchetes de Lie iterados de X e Y , describen series de potencias formales cuya convergencia no está garantizada. Por lo tanto, si uno quiere que Z sea un elemento real del álgebra de Lie que contenga X e Y (a diferencia de una serie de potencias formales), debe asumir que X e Y son pequeños. Por lo tanto, la conclusión de que la operación del producto en un grupo de Lie está determinada por el álgebra de Lie es solo una declaración local. De hecho, el resultado no puede ser global, porque globalmente se pueden tener grupos de Lie no isomórficos con álgebras de Lie isomórficas.
Concretamente, si se trabaja con una matriz de álgebra de Lie y es una norma de matriz submultiplicativa dada , la convergencia está garantizada [14] [22] si
Casos especiales
Si y conmutar, eso es , la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff se reduce a .
Otro caso asume que viaja con ambos y , en cuanto al nilpotente grupo de Heisenberg . Luego, la fórmula se reduce a sus primeros tres términos .
Teorema : [23] Si y conmutar con su conmutador, , luego .
Este es el caso degenerado que se utiliza habitualmente en mecánica cuántica , como se ilustra a continuación. En este caso, no hay restricciones de pequeñez en y . Este resultado está detrás de las "relaciones de conmutación exponenciadas" que entran en el teorema de Stone-von Neumann . A continuación se da una simple prueba de esta identidad.
Otra forma útil de la fórmula general enfatiza la expansión en términos de Y y usa la notación de mapeo adjunto:
lo cual es evidente a partir de la fórmula integral anterior. (Los coeficientes de los conmutadores anidados con un solo son números de Bernoulli normalizados).
Ahora suponga que el conmutador es un múltiplo de , así que eso . Entonces todos los conmutadores iterados serán múltiplos dey sin términos cuadráticos o superiores en aparecer. Por lo tanto, la término anterior desaparece y obtenemos:
Teorema : [24] Si, dónde es un número complejo con para todos los enteros , entonces nosotros tenemos
Nuevamente, en este caso no hay restricción de pequeñez en y . La restricción degarantiza que la expresión del lado derecho tiene sentido. (Cuándo podemos interpretar .) También obtenemos una simple "identidad trenzada":
que puede escribirse como una dilatación adjunta:
Resultados de existencia
Si y son matrices, se puede calcular utilizando la serie de potencias para el exponencial y el logaritmo, con convergencia de la serie si y son suficientemente pequeños. Es natural reunir todos los términos donde el grado total en y es igual a un número fijo , dando una expresión . (Consulte la sección "Ilustración del grupo Matrix Lie" más arriba para obtener fórmulas para los primeross.) Una prueba recursiva notablemente directa y concisa de que cada es expresable en términos de conmutadores repetidos de y estuvo a cargo de Martin Eichler . [12]
Alternativamente, podemos dar un argumento de existencia de la siguiente manera. La fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff implica que si X e Y están en algún álgebra de Lie definido sobre cualquier campo de característica 0 como o , luego
formalmente puede escribirse como una suma infinita de elementos de . [Esta serie infinita puede o no converger, por lo que no necesita definir un elemento real Z en.] Para muchas aplicaciones, la mera seguridad de la existencia de esta expresión formal es suficiente, y no se necesita una expresión explícita para esta suma infinita. Este es, por ejemplo, el caso de la construcción de Lorentzian [25] de una representación de grupo de Lie a partir de una representación de álgebra de Lie. La existencia se puede ver de la siguiente manera.
Consideramos el anillo de todas las series formales no los desplazamientos con coeficientes reales de las variables que no contienen los desplazamientos X e Y . Hay un homomorfismo de anillo de S al producto tensorial de S con S sobre R ,
- ,
llamado el coproducto , de modo que
- y .
(La definición de Δ se extiende a los otros elementos de S al requerir R -linealidad, multiplicatividad y aditividad infinita).
A continuación, se pueden verificar las siguientes propiedades:
- El mapa exp, definido por su serie estándar de Taylor, es una biyección entre el conjunto de elementos de S con término constante 0 y el conjunto de elementos de S con término constante 1; la inversa de exp es log
- es como un grupo (esto significa) si y solo si s es primitivo (esto significa).
- Los elementos grupales forman un grupo bajo multiplicación.
- Los elementos primitivos son exactamente las infinitas sumas formales de elementos del álgebra de Lie generadas por X e Y , donde el corchete de Lie viene dado por el conmutador . ( Teorema de Friedrichs [16] [13] )
La existencia de la fórmula de Campbell-Baker-Hausdorff ahora se puede ver de la siguiente manera: [13] Los elementos X e Y son primitivos, por lo que y son como un grupo; entonces su productotambién es grupal; entonces su logaritmoes primitivo; y por lo tanto puede ser escrita como una suma infinita de elementos de la álgebra de Lie generada por X y Y .
El álgebra envolvente universales de la álgebra de Lie libre generado por X y Y es isomorfo al álgebra de todos los polinomios no los desplazamientos en X y Y . Al igual que todas las álgebras envolventes universales, tiene una estructura natural de un álgebra de Hopf , con un coproducto Δ. El anillo S usado arriba es solo una terminación de este álgebra de Hopf.
Fórmula de Zassenhaus
Una expansión combinatoria relacionada que es útil en aplicaciones duales [16] es
donde los exponentes de orden superior en t son también conmutadores anidados, es decir, polinomios de Lie homogéneos. [26] Estos exponentes, C n en exp (- tX ) exp ( t ( X + Y )) = ∏ n exp ( t n C n ) , siguen de forma recursiva la aplicación de la expansión BCH anterior.
Como corolario de esto, sigue la descomposición de Suzuki-Trotter .
Un lema importante y su aplicación a un caso especial de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff
La identidad
Sea G un grupo de Lie matricial yg su álgebra de Lie correspondiente. Sea ad X el operador lineal en g definido por ad X Y = [ X , Y ] = XY - YX para algún X ∈ g fijo . (El endomorfismo adjunto encontrado anteriormente.) Denote con Ad A para A ∈ G fijo la transformación lineal de g dada por Ad A Y = AYA −1 .
Un lema combinatorio estándar que se utiliza [18] para producir las expansiones explícitas anteriores viene dado por [27]
entonces, explícitamente,
Esta es una fórmula particularmente útil que se usa comúnmente para realizar transformaciones unitarias en mecánica cuántica . Al definir el conmutador iterado,
podemos escribir esta fórmula de manera más compacta como,
Esta fórmula se puede demostrar mediante la evaluación de la derivada con respecto a s de f ( s ) Y ≡ e sX Y e - sX , solución de la ecuación diferencial resultante y evaluación en s = 1,
o [28]
Una aplicación de la identidad
En el caso de [ X, Y ] central, es decir, desplazamientos tanto con X como con Y ,
En consecuencia, para g ( s ) ≡ e sX e sY , se sigue que
cuya solución es
Tomando da uno de los casos especiales de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff descrita anteriormente:
De manera más general, para [ X, Y ] no central , la siguiente identidad de trenzado sigue fácilmente,
Caso infinitesimal
Una variante particularmente útil de lo anterior es la forma infinitesimal. Esto se escribe comúnmente como
Esta variación se usa comúnmente para escribir coordenadas y vielbeins como retrocesos de la métrica en un grupo de Lie.
Por ejemplo, escribiendo para algunas funciones y una base para el álgebra de Lie, se calcula fácilmente que
por las constantes de estructura del álgebra de Lie.
La serie se puede escribir de forma más compacta (ver artículo principal) como
con la serie infinita
Aquí, M es una matriz cuyos elementos de matriz son.
La utilidad de esta expresión proviene del hecho de que la matriz M es un vielbein. Por lo tanto, dado un mapade algún colector N a algún colector G , el tensor métrico en el colector N se puede escribir como el retroceso del tensor métricoen el grupo de Lie G ,
El tensor métrico en el grupo de Lie está la métrica de Cartan, la forma de Matar . Para N una variedad (pseudo) riemanniana , la métrica es una métrica (pseudo) riemanniana .
Aplicación en mecánica cuántica
Un caso especial de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff es útil en mecánica cuántica y especialmente en óptica cuántica , donde X e Y son operadores espaciales de Hilbert , que generan el álgebra de Lie de Heisenberg . Específicamente, los operadores de posición y momento en la mecánica cuántica, generalmente denotados y , satisfacen la relación de conmutación canónica:
dónde es el operador de identidad. Resulta que y conmutar con su conmutador. Por lo tanto, si aplicamos formalmente un caso especial de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff (aunque y son operadores ilimitados y no matrices), concluiríamos que
Esta "relación de conmutación exponenciada" es válida y constituye la base del teorema de Stone-von Neumann .
Una aplicación relacionada son los operadores de aniquilación y creación , â y â † . Su colector [ â † , â ] = - I es el centro , es decir, conmuta con tanto â y â † . Como se indicó anteriormente, la expansión luego colapsa a la forma degenerada semi-trivial:
donde v es solo un número complejo.
Este ejemplo ilustra la resolución del operador de desplazamiento , exp ( vâ † - v * â ) , en exponenciales de operadores y escalares de aniquilación y creación. [29]
Esta fórmula degenerada de Baker-Campbell-Hausdorff muestra el producto de dos operadores de desplazamiento como otro operador de desplazamiento (hasta un factor de fase), con el desplazamiento resultante igual a la suma de los dos desplazamientos,
dado que el grupo de Heisenberg que proporcionan una representación es nilpotente . La fórmula degenerada de Baker-Campbell-Hausdorff también se utiliza con frecuencia en la teoría cuántica de campos . [30]
Ver también
- Matriz exponencial
- Logaritmo de una matriz
- Fórmula del producto Lie (fórmula del producto Trotter)
- Correspondencia entre grupos de mentiras y álgebra de mentiras
- Derivada del mapa exponencial
- Expansión magnus
- Teorema de Stone-von Neumann
- Desigualdad de Golden-Thompson
Notas
- ^ Recordar
- ,
- ^ Sección 1.3 de la ecuación (2) de Rossmann 2002 . Para álgebra de matriz se encuentran sobre los campos R y C , el criterio de convergencia es que los serie converge registro para ambos lados de e Z = e X e Y . Esto está garantizado siempre que || X || + || Y ||
Z || en la norma de Hilbert-Schmidt . La convergencia puede ocurrir en un dominio más grande. Ver Rossmann 2002 p. 24.
Referencias
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enlaces externos
- CK Zachos , Crib Notes on CBH expansions doi : 10.13140 / 2.1.3090.2409
- Página MathWorld