En la teoría de grupos de Lie , el mapa exponencial es un mapa de la álgebra de Lie g de un grupo de Lie G en G . En caso de que G sea una matriz de grupo de Lie , el mapa exponencial se reduce a la matriz exponencial . El mapa exponencial, denotado exp: g → G , es analítico y tiene como tal derivada D/dtexp ( X ( t )): T g → T G , donde X ( t ) es un C 1 trayectoria en el álgebra de Lie, y una estrechamente relacionada diferencial d exp: T g → T G . [2]
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La fórmula para d exp fue probada por primera vez por Friedrich Schur (1891). [3] Posteriormente fue elaborado por Henri Poincaré (1899) en el contexto del problema de expresar la multiplicación de grupos de Lie usando términos algebraicos de Lie. [4] También se conoce a veces como fórmula de Duhamel .
La fórmula es importante tanto en matemáticas puras como aplicadas. Entra en demostraciones de teoremas como la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff , y se utiliza con frecuencia en física [5], por ejemplo, en la teoría cuántica de campos , como en la expansión de Magnus en la teoría de perturbaciones y en la teoría del calibre reticular .
En todo momento, las notaciones exp ( X ) y el correo X se usarán indistintamente para referirse a la exponencial dado un argumento, excepto cuando, donde, como se ha señalado, las notaciones han dedicado distintos significados. Aquí se prefiere la notación de estilo de cálculo para una mejor legibilidad en las ecuaciones. Por otro lado, el estilo exp es a veces más conveniente para ecuaciones en línea, y es necesario en las raras ocasiones en que hay que hacer una distinción real.
Declaración
La derivada del mapa exponencial viene dada por [6]
(1)
- Explicación
- X = X ( t ) es unaruta C 1 (continuamente diferenciable) en el álgebra de Lie con la derivada X ′ ( t ) = dX ( t )/dt. El argumento t se omite cuando no es necesario.
- ad X es la transformación lineal del álgebra de Lie dada por ad X ( Y ) = [ X , Y ] . Es la acción adjunta de un álgebra de Lie sobre sí misma.
- La fracción 1 - exp (−ad X )/anuncio X viene dada por la serie de potencias
( 2 )
- Cuando G es un grupo de Lie matricial, todas las apariciones de la exponencial están dadas por su expansión de la serie de potencias.
- Cuando G no es un grupo de Lie matricial,1 - exp (−ad X )/anuncio Xtodavía está dada por su serie de potencias ( 2 ), mientras que las otras dos ocurrencias de exp en la fórmula, que ahora son el mapa exponencial en la teoría de Lie , se refieren al flujo de tiempo uno del campo vectorial X invariante a la izquierda , es decir, elemento de el álgebra de Lie como se define en el caso general, en el grupo de Lie G visto como una variedad analítica . Esto sigue siendo exactamente la misma fórmula que en el caso de la matriz. La multiplicación por la izquierda de un elemento del álgebra g por un elemento exp ( X ( t )) del grupo de Lie se interpreta como la aplicación del diferencial de la traslación por la izquierda dL exp ( X ( t )) .
- La fórmula se aplica al caso en el que exp se considera como un mapa en el espacio matricial sobre ℝ o C , ver matriz exponencial . Cuando G = GL ( n , C ) o GL ( n , R ) , las nociones coinciden con precisión.
Para calcular el diferencial d exp de exp en X , d exp X : T g X → T G exp ( X ) , la receta estándar [2]
está empleado. Con Z ( t ) = X + tY el resultado [6]
( 3 )
sigue inmediatamente de (1) . En particular, d exp 0 : T g 0 → T G exp (0) = T G e es la identidad porque T g X ≃ g (ya que g es un espacio vectorial) y T G e ≃ g .
Prueba
La demostración que se da a continuación asume un grupo de Lie matricial. Esto significa que el mapeo exponencial del álgebra de Lie al grupo de Lie matricial viene dado por la serie de potencia habitual, es decir, exponenciación matricial. La conclusión de la prueba sigue siendo válida en el caso general, siempre que cada aparición de exp se interprete correctamente. Véanse los comentarios sobre el caso general a continuación.
El esquema de prueba hace uso de la técnica de diferenciación con respecto a s de la expresión parametrizada
para obtener una ecuación diferencial de primer orden para Γ que luego puede resolverse mediante integración directa en s . La solución es entonces e X Γ (1, t) .
Lema
Sea Ad la acción adjunta del grupo en su álgebra de Lie. La acción viene dada por Ad A X = AXA −1 para A ∈ G , X ∈ g . Una relación frecuencia útil entre Ad y ad está dada por [7] [nb 1]
(4)
Prueba
Usando la regla del producto dos veces uno encuentra,
Entonces uno observa que
por (4) arriba. Rendimientos de integración
Usando la serie de potencias formales para expandir el exponencial, integrando término por término y finalmente reconociendo ( 2 ),
y el resultado sigue. La prueba, como se presenta aquí, es esencialmente la que se da en Rossmann (2002) . Una prueba con un toque más algebraico se puede encontrar en Hall (2015) . [8]
Comentarios sobre el caso general
La fórmula en el caso general viene dada por [9]
donde [nb 2]
que formalmente se reduce a
Aquí, la notación exp se usa para el mapeo exponencial del álgebra de Lie y la notación de estilo de cálculo en la fracción indica la expansión de la serie formal habitual. Para obtener más información y dos pruebas completas en el caso general, consulte la referencia de Sternberg (2004) disponible gratuitamente .
Un argumento formal directo
Una forma inmediata de ver cuál debe ser la respuesta , siempre que exista, es la siguiente. La existencia debe probarse por separado en cada caso. Por diferenciación directa de la definición de límite estándar de la exponencial, e intercambiando el orden de diferenciación y límite,
donde cada factor debe su lugar a la no conmutatividad de X ( t ) y X ´ ( t ) .
Dividiendo el intervalo unitario en N secciones Δ s = Δ k/norte( Δ k = 1 ya que los índices de suma son números enteros) y dejando N → ∞, Δ k → dk , k/norte→ s , Σ → ∫ rinde
Aplicaciones
Comportamiento local del mapa exponencial
El teorema de la función inversa junto con la derivada del mapa exponencial proporciona información sobre el comportamiento local de exp . Cualquier C k , 0 ≤ k ≤ ∞, ω mapa f entre espacios vectoriales (aquí primero teniendo en cuenta los grupos de matriz de Lie) tiene un C k inversa tal que f es un C k biyección en un conjunto abierto alrededor de un punto x en el dominio proporcionado df x es invertible. De ( 3 ) se deduce que esto ocurrirá precisamente cuando
es invertible. Esto, a su vez, sucede cuando los valores propios de este operador son todos distintos de cero. Los valores propios de1 - exp (−ad X )/anuncio Xestán relacionados con los del ad X de la siguiente manera. Si g es una función analítica de una variable compleja expresada en una serie de potencias tal que g ( U ) para una matriz U converge, entonces los autovalores de g ( U ) serán g ( λ ij ) , donde λ ij son los autovalores de U , el doble subíndice se aclara a continuación. [nb 3] En el presente caso con g ( U ) = 1 - exp (- U )/Uy U = ad X , los valores propios de1 - exp (−ad X )/anuncio X están
donde el λ ij son los valores propios de anuncio X . Poniendo1 - exp (- λ ij )/λ ij= 0 se ve que d exp es invertible precisamente cuando
Los valores propios de anuncio X son, a su vez, relacionados con los de X . Deje que los valores propios de X sean λ i . Fije una base ordenada e i del espacio vectorial subyacente V tal que X sea triangular inferior. Luego
con el resto de términos múltiplos de e n con n > i . Sea E ij la base correspondiente para el espacio matricial, es decir ( E ij ) kl = δ ik δ jl . Ordene esta base de modo que E ij < E nm si i - j < n - m . Se comprueba que la acción del anuncio X viene dada por
con el resto de términos múltiplos de E mn > E ij . Esto significa que ad X es triangular inferior con sus valores propios λ ij = λ i - λ j en la diagonal. La conclusión es que d exp X es invertible, por lo tanto exp es una biyección bianalítica local alrededor de X , cuando los valores propios de X satisfacen [10] [nb 4]
En particular, en el caso de los grupos de matriz de Lie, se sigue, dado que d exp 0 es invertible, por el teorema de la función inversa que exp es una biyección bi-analítica en una vecindad de 0 ∈ g en el espacio matricial. Además, exp , es una biyección bi-analítica de un barrio de 0 ∈ g en g a un barrio de e ∈ G . [11] La misma conclusión es válida para los grupos de Lie generales que utilizan la versión múltiple del teorema de la función inversa.
También se deduce del teorema de la función implícita que d exp ξ en sí mismo es invertible para ly suficientemente pequeño. [12]
Derivación de una fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff
Si Z ( t ) se define de manera que
una expresión para Z (1) = log (exp X exp Y ) , la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff , se puede derivar de la fórmula anterior,
Su lado izquierdo es fácil ver a la igualdad de Y . Por lo tanto,
y por lo tanto, formalmente, [13] [14]
Sin embargo, utilizando la relación entre Anuncio y anuncio dada por (4) , es sencillo ver más a fondo que
y por lo tanto
Poniendo esto en forma de integral en t de 0 a 1 da como resultado,
una fórmula integral para Z (1) que es más manejable en la práctica que la fórmula explícita de la serie de Dynkin debido a la simplicidad de la expansión de la serie de ψ . Nota esta expresión se compone de X + Y y conmutadores anidados de los mismos con X o Y . Una prueba de libro de texto en este sentido se puede encontrar en Hall (2015) y Miller (1972) .
Derivación de la fórmula de la serie de Dynkin
La fórmula de Dynkin mencionada también se puede derivar de manera análoga, comenzando por la extensión paramétrica
De dónde
de modo que, utilizando la fórmula general anterior,
Sin embargo, dado que
el último paso en virtud de la expansión de la serie Mercator , se sigue que
( 5 )
y, por tanto, integrando,
En este punto es evidente que se cumple el enunciado cualitativo de la fórmula BCH, es decir, Z se encuentra en el álgebra de Lie generada por X , Y y se puede expresar como una serie entre paréntesis repetidos (A) . Para cada k , los términos para cada partición de la misma se organizan dentro de la integral ∫ dt t k −1 . La fórmula de Dynkin resultante es entonces
Para una prueba similar con expansiones detalladas de series, vea Rossmann (2002) .
Detalles combinatorios
Cambie el índice de suma en ( 5 ) a k = n - 1 y expanda
( 97 )
en una serie de potencias. Para manejar las expansiones de la serie simplemente, considere primero Z = log ( e X e Y ) . La serie de registros y la serie exp están dadas por
respectivamente. Combinando estos uno obtiene
( 98 )
Esto se convierte en
(99)
donde S k es el conjunto de todas las secuencias s = ( i 1 , j 1 ,…, i k , j k ) de longitud 2 k sujeto a las condiciones en (99) .
Ahora sustituya ( e X e Y - 1) por ( e ad tX e ad tY - 1) en el LHS de ( 98 ). La ecuación (99) entonces da
o, con un cambio de notación, consulte Una fórmula explícita de Baker-Campbell-Hausdorff ,
Note que el índice de suma para el e ad tX más a la derecha en el segundo término en ( 97 ) se denota i k + 1 , pero no es un elemento de una secuencia s ∈ S k . Ahora integra Z = Z (1) = ∫ dZ/dtdt , usando Z (0) = 0 ,
Escribe esto como
Esto equivale a
( 100 )
dónde utilizando la simple observación de que [ T , T ] = 0 para todos T . Es decir, en ( 100 ), el término principal desaparece a menos que j k + 1 sea igual a 0 o 1 , correspondiente al primer y segundo términos de la ecuación anterior. En caso de que j k + 1 = 0 , i k + 1 debe ser igual a 1 , de lo contrario el término desaparece por la misma razón ( i k + 1 = 0 no está permitido). Finalmente, cambie el índice, k → k - 1 ,
Esta es la fórmula de Dynkin. La sorprendente similitud con (99) no es accidental: refleja el mapa de Dynkin-Specht-Wever , que sustenta la derivación original y diferente de la fórmula. [15] A saber, si
es expresable como una serie de corchetes, entonces necesariamente [18]
( B )
Poniendo la observación (A) y el teorema ( B ) juntos produce una prueba concisa de la fórmula explícita de BCH.
Ver también
- Representación adjunta (anuncio)
- Representación adjunta (Ad)
- Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff
- Mapa exponencial
- Matriz exponencial
- Logaritmo matricial
- Expansión magnus
Observaciones
- ^ Puede encontrar una prueba de identidad aquí . La relación es simplemente la que existe entre una representación de un grupo de Lie y la de su álgebra de Lie según la correspondencia de Lie , ya que tanto Ad como ad son representaciones con ad = d Ad .
- ^ Sostiene que
- ^ Esto se ve eligiendo una base para el espacio vectorial subyacente tal que U es triangular , siendo los valores propios los elementos diagonales. Entonces U k es triangular con elementos diagonales λ i k . De ello se deduce que los valores propios de U son f ( λ i ) . Véase Rossmann 2002 , Lema 6 en la sección 1.2.
- ^ Matrices cuyos valores propios λ satisfacen | Im λ | < π están, bajo el exponencial, en biyección con matrices cuyos valores propios μ no están en la línea real negativa o en cero. El λ y μ están relacionadas por la exponencial compleja. Véase Rossmann (2002) Observación 2c sección 1.2.
Notas
- ^ Schmid, 1982
- ^ a b Apéndice de Rossmann 2002 sobre funciones analíticas.
- ^ Schur 1891
- ^ Poincaré 1899
- ^ Suzuki 1985
- ^ a b c Rossmann 2002 Teorema 5 Sección 1.2
- ^ Salón 2015 Proposición 3.35
- ↑ Ver también Tuynman 1995 de donde se toma la prueba de Hall.
- ^ Sternberg 2004 Esta es la ecuación (1.11).
- ^ Rossman 2002 Proposición 7, sección 1.2.
- ↑ Hall 2015 Corolario 3.44.
- ^ Sternberg 2004 Sección 1.6.
- ^ Salón 2015 Sección 5.5.
- ^ Sternberg 2004 Sección 1.2.
- ↑ a b Dynkin, 1947
- ^ Rossmann 2002 Capítulo 2.
- ↑ Hall 2015 Capítulo 5.
- ^ Sternberg 2004 Capítulo 1.12.2.
Referencias
- Dynkin, Eugene Borisovich (1947), "Вычисление коэффициентов в формуле Campbell-Hausdorff" [El cálculo de los coeficientes de la fórmula Campbell-Hausdorff], Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso), 57 : 323-326 ; traducción de libros de Google .
- Hall, Brian C. (2015), grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Miller, Wllard (1972), Grupos de simetría y sus aplicaciones , Academic Press, ISBN 0-12-497460-0
- Poincaré, H. (1899), "Sur les groupes continus", Cambridge Philos. Trans. , 18 : 220–55
- Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
- Schur, F. (1891), "Zur Theorie der endlichen Transformationsgruppen", Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo , 4 : 15–32
- Suzuki, Masuo (1985). "Fórmulas de descomposición de operadores exponenciales y exponenciales de Lie con algunas aplicaciones a la mecánica cuántica y la física estadística". Revista de Física Matemática . 26 (4): 601–612. Código bibliográfico : 1985JMP .... 26..601S . doi : 10.1063 / 1.526596 .
- Tuynman (1995), "La derivación del mapa exponencial de matrices", Amer. Matemáticas. Mensual , 102 (9): 818–819, doi : 10.2307 / 2974511 , JSTOR 2974511
- Veltman, M , 't Hooft, G & de Wit, B (2007). "Grupos de Mentira en Física", conferencias online .
- Wilcox, RM (1967). "Operadores exponenciales y diferenciación de parámetros en física cuántica". Revista de Física Matemática . 8 (4): 962–982. Código Bibliográfico : 1967JMP ..... 8..962W . doi : 10.1063 / 1.1705306 .
enlaces externos
- Sternberg, Shlomo (2004), Lie Algebras (PDF)
- Schmid, Wilfried (1982), "Grupos de Poincaré y Lie" (PDF) , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 6 (2): 175–186, doi : 10.1090 / s0273-0979-1982-14972-2