En matemáticas , la correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie le permite a uno corresponder un grupo de Lie a un álgebra de Lie o viceversa, y estudiar las condiciones para tal relación. Los grupos de Lie isomórficos tienen álgebras de Lie isomórficas, pero lo contrario no es necesariamente cierto. Un contraejemplo obvio es y que no son isomorfos como grupos de Lie pero sus álgebras de Lie son isomorfas. Sin embargo, al restringir nuestra atención a los grupos de Lie simplemente conectados , la correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie será uno a uno . [1]
En este artículo, un grupo de Lie se refiere a un grupo de Lie real. Para los casos complejos y p -ádicos, consulte el grupo de Lie complejo y el grupo de Lie p -ádico . En este artículo, se supone que las variedades (en particular los grupos de Lie) son segundos contables ; en particular, tienen a lo sumo innumerables componentes conectados.
Lo esencial
El álgebra de Lie de un grupo de Lie
Hay varias formas en que se puede entender la construcción del álgebra de Lie de un grupo G de Lie . Un enfoque utiliza campos vectoriales invariantes a la izquierda. Se dice que un campo vectorial X en G es invariante bajo traslaciones a la izquierda si, para cualquier g , h en G ,
dónde y es el diferencial deentre espacios tangentes . (En otras palabras, es-relacionado consigo mismo para cualquier g en G. )
Dejar como el conjunto de todos los campos de vectores izquierda invariante por traslación en G . Es un espacio vectorial real. Además, se cierra bajo el soporte de Lie ; es decir,es invariante en traducción a la izquierda si X , Y son. Por lo tanto,es una subálgebra de Lie del álgebra de Lie de todos los campos vectoriales en G y se llama el álgebra de Lie de G . Uno puede entender esto más concretamente identificando el espacio de los campos vectoriales invariantes a la izquierda con el espacio tangente en la identidad, como sigue: Dado un campo vectorial invariante a la izquierda, uno puede tomar su valor en la identidad, y dado un vector tangente en la identidad, se puede extender a un campo vectorial invariante a la izquierda. Por lo tanto, el álgebra de Lie se puede considerar como el espacio tangente en la identidad y el corchete de X e Y en se puede calcular extendiéndolos a campos vectoriales invariantes a la izquierda, tomando el conmutador de los campos vectoriales y luego evaluando la identidad.
También hay otra encarnación de como el álgebra de Lie de elementos primitivos del álgebra de Hopf de distribuciones en G con apoyo en el elemento identidad; para esto, vea las # construcciones relacionadas a continuación.
Grupos de Matrix Lie
Suponga que G es un subgrupo cerrado de GL (n; C ) y, por tanto, un grupo de Lie, según el teorema de los subgrupos cerrados . Entonces el álgebra de Lie de G se puede calcular como [2] [3]
Por ejemplo, se puede usar el criterio para establecer la correspondencia para grupos compactos clásicos (ver la tabla en "grupos de Lie compactos" a continuación).
Homomorfismos
Si
es un homomorfismo de grupo de Lie , entonces su diferencial en el elemento de identidad
es un homomorfismo de álgebra de Lie (los paréntesis van a los paréntesis), que tiene las siguientes propiedades:
- para todo X en Lie ( G ), donde "exp" es el mapa exponencial
- . [4]
- Si la imagen de f está cerrada, [5] entonces[6] y se cumpleel primer teorema del isomorfismo : f induce el isomorfismo de los grupos de Lie:
- La regla de la cadena se cumple: si y son homomorfismos de grupos de Lie, entonces .
En particular, si H es un subgrupo cerrado [7] de un grupo de Lie G , entonces es una subálgebra de mentira de . Además, si f es inyectiva, entonces f es una inmersión y así G se dice que es una sumergido (Lie) subgrupo de H . Por ejemplo,es un subgrupo sumergido de H . Si f es sobreyectiva, entonces f es una inmersión y si, además, G es compacto, entonces f es un paquete principal con el grupo de estructura su núcleo. ( Lema de Ehresmann )
Otras propiedades
Dejar ser un producto directo de los grupos de Lie yproyecciones. Entonces los diferenciales dar la identificación canónica:
Si son subgrupos de Lie de un grupo de Lie, entonces
Sea G un grupo de Lie conectado. Si H es un grupo de Lie, entonces cualquier homomorfismo de grupo de Lie está determinado únicamente por su diferencial . Precisamente, existe el mapa exponencial (y uno para H ) tal quey, dado que G está conectado, esto determina f de manera única. [8] En general, si U es una vecindad del elemento de identidad en un grupo topológico conectado G , entoncescoincide con G , ya que el primero es un subgrupo abierto (por lo tanto cerrado). Ahora,define un homeomorfismo local desde una vecindad del vector cero hasta la vecindad del elemento de identidad. Por ejemplo, si G es el grupo de Lie de matrices cuadradas reales invertibles de tamaño n ( grupo lineal general ), entonceses el álgebra de Lie de matrices cuadradas reales de tamaño n y.
La correspondencia
La correspondencia entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie incluye los siguientes tres resultados principales.
- Tercer teorema de Lie : Todo álgebra de Lie real de dimensión finita es el álgebra de Lie de algún grupo de Lie simplemente conectado . [9]
- El teorema de los homomorfismos : sies un homomorfismo de álgebra de Lie y si G está simplemente conectado, entonces existe un homomorfismo de grupo de Lie (único) tal que . [10]
- El teorema de subgrupos-subálgebras : si G es un grupo de Lie y es una subálgebra de mentira de , entonces hay un subgrupo de Lie conectado único (no necesariamente cerrado) H de G con álgebra de Lie. [11]
En la segunda parte de la correspondencia, no se puede omitir el supuesto de que G está simplemente conectado. Por ejemplo, las álgebras de Lie de SO (3) y SU (2) son isomorfas, [12] pero no hay un homomorfismo correspondiente de SO (3) en SU (2). [13] Más bien, el homomorfismo va del grupo simplemente conectado SU (2) al grupo no simplemente conectado SO (3). [14] Si G y H están simplemente conectados y tienen álgebras de Lie isomórficas, el resultado anterior permite mostrar que G y H son isomorfos. [15] Un método para construir f es utilizar la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff . [dieciséis]
Prueba del tercer teorema de Lie
Quizás la prueba más elegante del primer resultado anterior usa el teorema de Ado , que dice que cualquier álgebra de Lie de dimensión finita (sobre un campo de cualquier característica) es una subálgebra de Lie del álgebra de Lie.de matrices cuadradas. La demostración es la siguiente: por el teorema de Ado, asumimoses una subálgebra de mentira. Sea G el subgrupo de generado por y deja ser una cubierta simplemente conectada de G ; no es dificil demostrar quees un grupo de Lie y que el mapa de cobertura es un homomorfismo de grupo de Lie. Desde, esto completa la prueba.
Ejemplo: cada elemento X en el álgebra de Lie da lugar al homomorfismo del álgebra de Lie
Por el tercer teorema de Lie, como y exp porque es la identidad, este homomorfismo es el diferencial del homomorfismo del grupo de Lie para algunos inmerso subgrupo H de G . Este homomorfismo del grupo de Lie, llamado subgrupo de un parámetro generado por X , es precisamente el mapa exponencialy H su imagen. Lo anterior se puede resumir diciendo que hay una correspondencia biyectiva canónica entrey el conjunto de los subgrupos con un parámetro de G . [17]
Prueba del teorema de homomorfismos
Un método para demostrar la segunda parte de la correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie (el teorema de los homomorfismos) es utilizar la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff , como en la sección 5.7 del libro de Hall. [18] Específicamente, dado el homomorfismo del álgebra de Lie de a , podemos definir localmente (es decir, en una vecindad de la identidad) por la fórmula
dónde es el mapa exponencial de G , que tiene una inversa definida cerca de la identidad. Ahora argumentamos que f es un homomorfismo local. Así, dados dos elementos cercanos a la identidad y (con X e Y pequeñas), consideramos su producto. Según la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, tenemos, dónde
con indicando otros términos expresados como repetidas conmutadores que implican X y Y . Por lo tanto,
porque es un homomorfismo del álgebra de Lie. Utilizando de nuevo la fórmula de Baker – Campbell – Hausdorff , esta vez para el grupo H , vemos que esta última expresión se convierte en, y por lo tanto tenemos
Por tanto, f tiene la propiedad de homomorfismo, al menos cuando X e Y son suficientemente pequeños. Es importante enfatizar que este argumento es solo local, ya que el mapa exponencial solo es invertible en un pequeño vecindario de la identidad en G y dado que la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff solo se cumple si X e Y son pequeños. Aún no se ha utilizado la suposición de que G está simplemente conectado.
La siguiente etapa en el argumento es extender f de un homomorfismo local a uno global. La extensión se realiza definiendo f a lo largo de una ruta y luego usando la conectividad simple de G para mostrar que la definición es independiente de la elección de la ruta.
Representaciones de grupos de mentiras
Un caso especial de correspondencia de Lie es una correspondencia entre representaciones de dimensión finita de un grupo de Lie y representaciones del álgebra de Lie asociada.
El grupo lineal general es un grupo de Lie (real) y cualquier homomorfismo de grupo de Lie
se llama una representación del grupo de Lie G . El diferencial
es entonces un homomorfismo del álgebra de Lie llamado representación del álgebra de Lie . (El diferencial a menudo se denota simplemente por .)
El teorema de los homomorfismos (mencionado anteriormente como parte de la correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie) dice que si es el grupo de Lie simplemente conectado cuyo álgebra de Lie es , cada representación deproviene de una representación de G . El supuesto de que G esté simplemente conectado es esencial. Considere, por ejemplo, el grupo de rotación SO (3) , que no está simplemente conectado. Hay una representación irreductible del álgebra de Lie en cada dimensión, pero solo las representaciones de dimensiones impares del álgebra de Lie provienen de representaciones del grupo. [19] (Esta observación está relacionada con la distinción entre espín entero y espín medio entero en mecánica cuántica). Por otro lado, el grupo SU (2) está simplemente conectado con el álgebra de Lie isomórfica al de SO (3), así que toda representación del álgebra de Lie de SO (3) da lugar a una representación de SU (2) .
La representación adjunta
Un ejemplo de representación de un grupo de Lie es la representación adjunta de un grupo de Lie G ; cada elemento g en un grupo de Lie G define un automorfismo de G por conjugación:; el diferencial es entonces un automorfismo del álgebra de Lie . De esta manera obtenemos una representación, llamada representación adjunta. El correspondiente homomorfismo del álgebra de Liese llama la representación adjunta de y se denota por . Uno puede mostrar, lo que en particular implica que el corchete de Lie de está determinada por la ley de grupo de G .
Según el tercer teorema de Lie, existe un subgrupo de cuya álgebra de mentira es . (en general, no es un subgrupo cerrado; sólo un subgrupo sumergido.) Se llama el grupo adjunto de. [20] Si G está conectado, encaja en la secuencia exacta:
dónde es el centro de G . Si el centro de G es discreto, entonces Ad aquí es un mapa de cobertura.
Sea G un grupo de Lie conectado. Entonces G es unimodular si y solo sipara todos g en G . [21]
Deje G un grupo de Lie que actúa sobre un colector de X y G x el estabilizador de un punto x en X . Dejar. Luego
- Si la órbita está localmente cerrada, entonces la órbita es una subvariedad de X y. [22]
Para un subconjunto A deo G , deja
el centralizador álgebra de Lie y el centralizador grupo de Lie de A . Luego.
Si H es un subgrupo conectado cerrado de G , entonces H es normal si y solo si es un ideal y en tal caso .
Grupos de Abelian Lie
Sea G un grupo de Lie conectado. Dado que el álgebra de Lie del centro de G es el centro del álgebra de Lie de G (cf. el § anterior), G es abeliana si y sólo si su álgebra de Lie es abeliana.
Si G es abeliano, entonces el mapa exponenciales un homomorfismo de grupo sobreyectivo. [23] Su núcleo es un grupo discreto (ya que la dimensión es cero) llamado la red de números enteros de G y se denota por. Según el primer teorema del isomorfismo, induce el isomorfismo .
Por el argumento de la rigidez , el grupo fundamental de un grupo de Lie conectado G es un subgrupo central de una cubierta simplemente conectadade G ; en otras palabras, G encaja en la extensión central
De manera equivalente, dada un álgebra de Lie y un grupo de Lie simplemente conectado cuya álgebra de mentira es , hay una correspondencia biunívoca entre cocientes de por subgrupos centrales discretos y grupos de Lie conectados que tienen álgebra de Lie .
Para el caso complejo, los toros complejos son importantes; consulte el grupo complejo de Lie para este tema.
Grupos de Compact Lie
Sea G un grupo de Lie conectado con un centro finito. Entonces los siguientes son equivalentes.
- G es compacto.
- (Weyl) La cubierta simplemente conectada de G es compacto.
- El grupo adjunto es compacto.
- Existe una incrustación como un subgrupo cerrado.
- La forma de matar en es definida negativa.
- Por cada X en, es diagonalizable y tiene valores propios cero o puramente imaginarios.
- Existe un producto interno invariante en .
Es importante enfatizar que la equivalencia de las condiciones precedentes se cumple solo bajo el supuesto de que G tiene un centro finito. Así, por ejemplo, si G es compacto con centro finito , la cubierta universaltambién es compacto. Claramente, esta conclusión no es válida si G tiene un centro infinito, por ejemplo, si. Las últimas tres condiciones anteriores son de naturaleza puramente algebraica de Lie.
Grupo Compact Lie | Complejificación del álgebra de Lie asociada | Sistema raíz |
---|---|---|
SU ( n +1) | s l ( norte + 1 , C ) {\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} (n + 1, \ mathbb {C})} | Un n |
Entonces (2 n +1) | s o ( 2 norte + 1 , C ) {\ Displaystyle {\ mathfrak {so}} (2n + 1, \ mathbb {C})} | B n |
Sp ( n ) | s pag ( norte , C ) {\ Displaystyle {\ mathfrak {sp}} (n, \ mathbb {C})} | C n |
ASÍ (2 n ) | s o ( 2 norte , C ) {\ Displaystyle {\ mathfrak {so}} (2n, \ mathbb {C})} | D n |
Si G es un grupo de Lie compacto, entonces
donde el lado izquierdo es la cohomología del álgebra de Lie dey el lado derecho es la cohomología de de Rham de G . (Aproximadamente, esto es una consecuencia del hecho de que cualquier forma diferencial en G puede dejarse invariante mediante el argumento de promediado).
Construcciones relacionadas
Sea G un grupo de Lie. El álgebra de Lie asociadade G puede definirse alternativamente como sigue. Dejarser el álgebra de distribuciones en G con apoyo en el elemento identidad con la multiplicación dada por convolución .es de hecho un álgebra de Hopf . El álgebra de Lie de G es entonces, el álgebra de Lie de elementos primitivos en. [24] Según el teorema de Milnor-Moore , existe el isomorfismo canónicoentre el álgebra envolvente universal de y .
Ver también
- álgebra de mentira compacta
- Teorema de Milnor-Moore
- Grupo formal
- Álgebra de mentiras de Malcev
- Distribución en un grupo algebraico lineal
Citas
- ^ Lee 2012 , p. 530.
- ^ Helgason 1978 , cap. II, § 2, Proposición 2.7.
- ^ Salón 2015 Sección 3.3
- ' ^ De manera más general, si Hes un subgrupo cerrado deH, entonces
- ^ Este requisito no puede omitirse; ver también https://math.stackexchange.com/q/329753
- ^ Bourbaki , cap. III, § 3, no. 8, Proposición 28
- ^ Bourbaki , cap. III, § 1, Proposición 5
- ↑ Hall 2015 Corolario 3.49
- ^ Teorema de Hall 2015 5.25
- ^ Teorema 5.6 de Hall 2015
- ^ Teorema 5.20 de Hall 2015
- ^ Hall 2015 Ejemplo 3.27
- ^ Salón 2015 Proposición 4.35
- ^ Salón 2015 Sección 1.4
- ↑ Hall 2015 Corolario 5.7
- ^ Salón 2015 Sección 5.7
- ^ Teorema 2.14 de Hall 2015
- ^ Salón 2015
- ^ Hall, 2015 y sección 4.7
- ↑ Helgason 1978 , Ch II, § 5
- ^ Bourbaki , cap. III, § 3, no. 16, Corolario de la Proposición 55.
- ^ Bourbaki , cap. III, § 1, no. 7, Proposición 14.
- ^ Es sobreyectiva porque como es abeliano.
- ^ Bourbaki , cap. III, § 3. no. 7
Referencias
- Bourbaki, N. (1981), Groupes et Algèbres de Lie (Capítulo 3) , Éléments de Mathématique, Hermann
- Duistermaat, JJ; Kolk, A. (2000), grupos de mentiras , Universitext, Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-56936-4 , ISBN 3540152938
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2a ed.), Springer, doi : 10.1007 / 978-3-319-13467-3 , ISBN 978-3319134666
- Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, Grupos de Lie y espacios simétricos , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
- Lee, John M. (2012). Introducción a los colectores lisos . Textos de Posgrado en Matemáticas . 218 (Segunda ed.). Nueva York Londres: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-9981-8. OCLC 808682771 .
enlaces externos
- Notas para grupos de Lie de Math 261A y álgebras de Lie
- Popov, VL (2001) [1994], "Álgebra de mentira de un grupo analítico" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Teoría formal de la mentira en característica cero , una publicación de blog de Akhil Mathew