Teorema de la categoría de Baire
El teorema de la categoría de Baire (BCT) es un resultado importante en la topología general y el análisis funcional . El teorema tiene dos formas, cada una de las cuales da condiciones suficientes para que un espacio topológico sea un espacio de Baire (un espacio topológico tal que la intersección de innumerables conjuntos abiertos densos sigue siendo densa).
Las versiones del teorema de la categoría de Baire fueron probadas por primera vez de forma independiente en 1897 y 1899 por Osgood y Baire, respectivamente. Este teorema dice que todo espacio métrico completo es un espacio de Baire . [1]
Un espacio de Baire es un espacio topológico con la propiedad de que para cada colección contable de conjuntos densos abiertos , su intersección es densa.
Ninguna de estas afirmaciones implica directamente a la otra, ya que hay espacios métricos completos que no son localmente compactos (los números irracionales con la métrica definida a continuación; también, cualquier espacio de Banach de dimensión infinita), y hay espacios localmente compactos de Hausdorff que no son metrizable (por ejemplo, cualquier producto incontable de espacios compactos de Hausdorff no triviales es tal; también, varios espacios funcionales usados en el análisis funcional; el incontable espacio Fort ). Consulte Steen y Seebach en las referencias siguientes.
Esta formulación es equivalente a BCT1 y, a veces, es más útil en aplicaciones. Además: si un espacio métrico completo no vacío es la unión contable de conjuntos cerrados, entonces uno de estos conjuntos cerrados tiene un interior no vacío .
La prueba de BCT1 para espacios métricos completos arbitrarios requiere alguna forma del axioma de elección ; y de hecho BCT1 es equivalente sobre ZF al axioma de elección dependiente , una forma débil del axioma de elección. [3]