Teorema de la categoría de Baire
El teorema de la categoría de Baire (BCT) es un resultado importante en topología general y análisis funcional . El teorema tiene dos formas, cada una de las cuales proporciona condiciones suficientes para que un espacio topológico sea un espacio de Baire (un espacio topológico tal que la intersección de muchos conjuntos abiertos numerables densos sigue siendo denso).
Las versiones del teorema de la categoría de Baire fueron probadas por primera vez de forma independiente en 1897 y 1899 por Osgood y Baire , respectivamente. Este teorema dice que todo espacio métrico completo es un espacio de Baire . [1]
Un espacio de Baire es un espacio topológico con la propiedad de que para cada colección numerable de conjuntos densos abiertos su intersección es densa.
Ninguna de estas afirmaciones implica directamente la otra, ya que existen espacios métricos completos que no son localmente compactos (los números irracionales con la métrica definida a continuación; también, cualquier espacio de Banach de dimensión infinita), y existen espacios de Hausdorff localmente compactos que no son metrizable (por ejemplo, cualquier producto incontable de espacios de Hausdorff compactos no triviales es tal; también, varios espacios de función utilizados en el análisis funcional; el espacio de Fort incontable ). Ver Steen y Seebach en las referencias a continuación.
Esta formulación es equivalente a BCT1 y, en ocasiones, es más útil en las aplicaciones. Además: si un espacio métrico completo no vacío es la unión contable de conjuntos cerrados, entonces uno de estos conjuntos cerrados tiene un interior no vacío .
La prueba de BCT1 para espacios métricos completos arbitrarios requiere alguna forma del axioma de elección ; y de hecho BCT1 es equivalente sobre ZF al axioma de elección dependiente , una forma débil del axioma de elección. [3]