En matemáticas , las funciones de Baire son funciones obtenidas a partir de funciones continuas mediante la iteración transfinita de la operación de formar límites puntuales de secuencias de funciones. Fueron introducidos por René-Louis Baire en 1899. Un conjunto Baire es un conjunto cuya función característica es una función Baire. (Hay otras definiciones de conjuntos de Baire, casi equivalentes, pero no equivalentes).
Clasificación de funciones de Baire
Las funciones de Baire de clase α, para cualquier número ordinal contable α, forman un espacio vectorial de funciones de valor real definidas en un espacio topológico , como sigue.
- Las funciones de clase 0 de Baire son funciones continuas .
- Las funciones de clase 1 de Baire son aquellas funciones que son el límite puntual de una secuencia de funciones de clase 0 de Baire.
- En general, las funciones α de la clase Baire son todas funciones que son el límite puntual de una secuencia de funciones de la clase Baire menor que α.
Algunos autores definen las clases de forma ligeramente diferente, eliminando todas las funciones de la clase menor que α de las funciones de la clase α. Esto significa que cada función de Baire tiene una clase bien definida, pero las funciones de una clase dada ya no forman un espacio vectorial.
Henri Lebesgue demostró que (para funciones en el intervalo unitario ) cada clase de Baire de un número ordinal contable contiene funciones que no pertenecen a ninguna clase más pequeña, y que existen funciones que no están en ninguna clase de Baire.
Baire clase 1
Ejemplos:
- La derivada de cualquier función diferenciable es de clase 1. Un ejemplo de función diferenciable cuya derivada no es continua (en x = 0) es la función igual acuando x ≠ 0, y 0 cuando x = 0. Una suma infinita de funciones similares (escaladas y desplazadas por números racionales ) puede incluso dar una función diferenciable cuya derivada es discontinua en un conjunto denso. Sin embargo, necesariamente tiene puntos de continuidad, lo que se deduce fácilmente del Teorema de caracterización de Baire (a continuación; tome K = X = R ).
- La función característica del conjunto de números enteros , que es igual a 1 si x es un número entero y 0 en caso contrario. (Un número infinito de grandes discontinuidades).
- Función de Thomae , que es 0 para x irracional y 1 / q para un número racional p / q (en forma reducida). (Un conjunto denso de discontinuidades, es decir, el conjunto de números racionales).
- La función característica del conjunto de Cantor , que es igual a 1 si x está en el conjunto de Cantor y 0 en caso contrario. Esta función es 0 para un conjunto incontable de valores x y 1 para un conjunto incontable. Es discontinuo donde sea que sea igual a 1 y continuo donde sea que sea igual a 0. Es aproximado por las funciones continuas, dónde es la distancia de x desde el punto más cercano en el conjunto de Cantor.
El teorema de caracterización de Baire establece que una función de valor real f definida en un espacio de Banach X es una función de Baire-1 si y solo si para cada subconjunto cerrado no vacío K de X , la restricción de f a K tiene un punto de continuidad relativo a la topología de K .
Por otro teorema de Baire, para cada función Baire-1 los puntos de continuidad son una comeager G δ conjunto ( Kechris 1995 , el teorema (24,14)).
Baire clase 2
Un ejemplo de una función de clase 2 de Baire en el intervalo [0,1] que no es de clase 1 es la función característica de los números racionales, , también conocida como función de Dirichlet que es discontinua en todas partes .
Presentamos dos pruebas.
- Esto puede verse observando que para cualquier colección finita de racionales, la función característica de este conjunto es Baire 1: es decir, la función converge idénticamente a la función característica de , dónde es la colección finita de racionales. Dado que los racionales son contables, podemos mirar el límite puntual de estas cosas sobre, dónde es una enumeración de los racionales. No es Baire-1 por el teorema mencionado anteriormente: el conjunto de discontinuidades es el intervalo completo (ciertamente, el conjunto de puntos de continuidad no es comeager).
- La función de Dirichlet se puede construir como el límite de dos puntos de una secuencia de funciones continuas, como sigue:
- para los enteros j y k .
Baire clase 3
Un ejemplo de tales funciones lo da el indicador del conjunto de números normales , que es un conjunto de Borel de rango 3 .
Ver también
Referencias
- Baire, René-Louis (1899). Sur les fonctions de variables réelles (Ph.D.). École Normale Supérieure.
- Baire, René-Louis (1905), Leçons sur les fonctions discontinua, professées au collège de France , Gauthier-Villars.
- Kechris, Alexander S. (1995), Teoría clásica de conjuntos descriptivos , Springer-Verlag.
enlaces externos
- Artículo de la Enciclopedia Springer de Matemáticas sobre las clases de Baire