En lógica matemática , la jerarquía de Borel es una estratificación del álgebra de Borel generada por los subconjuntos abiertos de un espacio polaco ; Los elementos de esta álgebra se denominan conjuntos de Borel . A cada conjunto de Borel se le asigna un número ordinal contable único llamado rango del conjunto de Borel. La jerarquía de Borel es de particular interés en la teoría descriptiva de conjuntos .
Un uso común de la jerarquía de Borel es probar hechos sobre los conjuntos de Borel usando inducción transfinita en rango. Las propiedades de los conjuntos de pequeños rangos finitos son importantes en la teoría y el análisis de la medida .
Conjuntos de Borel
El álgebra de Borel en un espacio topológico arbitrario es la colección más pequeña de subconjuntos del espacio que contiene los conjuntos abiertos y está cerrado bajo uniones contables y complementación . Se puede demostrar que el álgebra de Borel también está cerrada en intersecciones contables.
Una breve prueba de que el álgebra de Borel está bien definida procede mostrando que todo el conjunto de potencias del espacio está cerrado bajo complementos y uniones contables y, por lo tanto, el álgebra de Borel es la intersección de todas las familias de subconjuntos del espacio que tienen estas propiedades de cierre. Esta prueba no proporciona un procedimiento simple para determinar si un conjunto es Borel. Una motivación para la jerarquía de Borel es proporcionar una caracterización más explícita de los conjuntos de Borel.
Jerarquía de Borel en negrita
La jerarquía de Borel o jerarquía de Borel en negrita en un espacio X consta de clases, , y por cada ordinal contable mayor que cero. Cada una de estas clases se compone de subconjuntos de X . Las clases se definen inductivamente a partir de las siguientes reglas:
- Un set está en si y solo si está abierto.
- Un set está en si y solo si su complemento está en .
- Un conjunto es en por si y solo si hay una secuencia de conjuntos tal que cada es en para algunos y .
- Un set está en si y solo si está en y en .
La motivación de la jerarquía es seguir la forma en que un conjunto de Borel podría construirse a partir de conjuntos abiertos utilizando complementación y uniones contables. Se dice que un conjunto de Borel tiene rango finito si está en para algún ordinal finito ; de lo contrario, tiene rango infinito .
Si entonces se puede mostrar que la jerarquía tiene las siguientes propiedades:
- Por cada α ,. Por lo tanto, una vez que un conjunto está en o , ese conjunto estará en todas las clases en la jerarquía correspondiente a ordinales mayores que α
- . Además, un conjunto está en esta unión si y solo si es Borel.
- Si es un espacio polaco incontable, se puede demostrar que no está contenido en para cualquier , y así la jerarquía no colapsa.
Conjuntos de borel de rango pequeño
Las clases de rango pequeño se conocen por nombres alternativos en la teoría de conjuntos descriptiva clásica.
- La conjuntos son los conjuntos abiertos. La los conjuntos son los conjuntos cerrados.
- La los conjuntos son uniones contables de conjuntos cerrados y se denominan conjuntos F σ . Lalos conjuntos son la clase dual y pueden escribirse como una intersección contable de conjuntos abiertos. Estos conjuntos se denominan conjuntos G δ .
Jerarquía de Lightface
La jerarquía de Borel en negrita es una versión eficaz de la jerarquía de Borel en negrita. Es importante en la teoría de conjuntos descriptiva efectiva y en la teoría de recursividad . La jerarquía de Borel de Lightface extiende la jerarquía aritmética de subconjuntos de un espacio polaco efectivo . Está estrechamente relacionado con la jerarquía hiperaritmética .
La jerarquía de Lightface Borel se puede definir en cualquier espacio polaco efectivo. Consta de clases, y para cada ordinal contable distinto de cero menos que el ordinal Church-Kleene . Cada clase consta de subconjuntos del espacio. Las clases y los códigos para los elementos de las clases se definen inductivamente de la siguiente manera:
- Un conjunto es si y sólo si es efectivamente abierto , es decir, un conjunto abierto que es la unión de una secuencia computable enumerable de conjuntos abiertos básicos. Un código para tal conjunto es un par (0, e) , donde e es el índice de un programa que enumera la secuencia de conjuntos abiertos básicos.
- Un conjunto es si y solo si su complemento es . Un código para uno de estos conjuntos es un par (1, c) donde c es un código para el conjunto complementario.
- Un conjunto es si hay una secuencia de códigos computablemente enumerable para una secuencia de conjuntos tales que cada es para algunos y . Un código para unconjunto es un par (2, e) , donde e es un índice de un programa que enumera los códigos de la secuencia.
Un código para un conjunto de Borel lightface proporciona información completa sobre cómo recuperar el conjunto de conjuntos de menor rango. Esto contrasta con la jerarquía en negrita, donde no se requiere tal efectividad. Cada conjunto de Lightface Borel tiene infinitos códigos distintos. Son posibles otros sistemas de codificación; la idea crucial es que un código debe distinguir efectivamente entre conjuntos efectivamente abiertos, complementos de conjuntos representados por códigos anteriores y enumeraciones computables de secuencias de códigos.
Se puede demostrar que para cada hay conjuntos en , y así la jerarquía no colapsa. No se agregarían nuevos conjuntos en el escenario., sin embargo.
Un famoso teorema debido a Spector y Kleene establece que un conjunto está en la jerarquía de Borel lightface si y solo si está en el nivel de la jerarquía analítica . Estos conjuntos también se denominan hiperaritméticos .
El código para un conjunto A de Borel lightface se puede usar para definir inductivamente un árbol cuyos nodos están etiquetados por códigos. La raíz del árbol es etiquetado por el código de una . Si un nodo está etiquetado con un código de la forma (1, c), entonces tiene un nodo hijo cuyo código es c . Si un nodo está etiquetado con un código de la forma (2, e), entonces tiene un hijo para cada código enumerado por el programa con el índice e . Si un nodo está etiquetado con un código de la forma (0, e), entonces no tiene hijos. Este árbol describe cómo A se construye a partir de conjuntos de menor rango. Los ordinales usados en la construcción de A aseguran que este árbol no tenga un camino infinito, porque cualquier camino infinito a través del árbol tendría que incluir un número infinito de códigos comenzando con 2 , y por lo tanto daría una secuencia decreciente infinita de ordinales. Por el contrario, si un subárbol arbitrario detiene sus nodos etiquetados por códigos de una manera consistente, y el árbol no tiene caminos infinitos, entonces el código en la raíz del árbol es un código para un conjunto de Borel lightface. El rango de este conjunto está limitado por el tipo de orden del árbol en el orden Kleene-Brouwer . Debido a que el árbol se puede definir aritméticamente, este rango debe ser menor que. Este es el origen del ordinal Church-Kleene en la definición de la jerarquía del rostro claro.
Relación con otras jerarquías
Lightface | Negrita | ||
Σ0 0 = Π0 0 = Δ0 0 (a veces lo mismo que Δ0 1) | Σ0 0= Π0 0= Δ0 0 (si está definido) | ||
Δ0 1= recursivo | Δ0 1= abierto | ||
Σ0 1= recursivamente enumerable | Π0 1 = recursivamente enumerable | Σ0 1= G = abierto | Π0 1= F = cerrado |
Δ0 2 | Δ0 2 | ||
Σ0 2 | Π0 2 | Σ0 2= F σ | Π0 2= G δ |
Δ0 3 | Δ0 3 | ||
Σ0 3 | Π0 3 | Σ0 3= G δσ | Π0 3= F σδ |
⋮ | ⋮ | ||
Σ0 <ω = Π0 <ω = Δ0 <ω = Σ1 0 = Π1 0 = Δ1 0= aritmético | Σ0 <ω= Π0 <ω= Δ0 <ω= Σ1 0= Π1 0= Δ1 0 = aritmética en negrita | ||
⋮ | ⋮ | ||
Δ0 α(α recursivo ) | Δ0 α(α contable ) | ||
Σ0 α | Π0 α | Σ0 α | Π0 α |
⋮ | ⋮ | ||
Σ0 ωCK 1 = Π0 ωCK 1 = Δ0 ωCK 1 = Δ1 1= hiperaritmético | Σ0 ω 1= Π0 ω 1= Δ0 ω 1= Δ1 1= B = Borel | ||
Σ1 1 = analítica de cara clara | Π1 1 = coanalítico de cara clara | Σ1 1= A = analítico | Π1 1= CA = coanalítico |
Δ1 2 | Δ1 2 | ||
Σ1 2 | Π1 2 | Σ1 2 = PCA | Π1 2 = CPCA |
Δ1 3 | Δ1 3 | ||
Σ1 3 | Π1 3 | Σ1 3 = PCPCA | Π1 3 = CPCPCA |
⋮ | ⋮ | ||
Σ1 <ω = Π1 <ω = Δ1 <ω = Σ2 0 = Π2 0 = Δ2 0= analítico | Σ1 <ω= Π1 <ω= Δ1 <ω= Σ2 0= Π2 0= Δ2 0= P = proyectiva | ||
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Referencias
- Kechris, Alexander . Teoría Clásica Descriptiva de Conjuntos . Textos de posgrado en matemáticas v. 156, Springer-Verlag, 1995. ISBN 3-540-94374-9 .
- Jech, Thomas . Teoría de conjuntos , 3ª edición. Springer, 2003. ISBN 3-540-44085-2 .
Ver también
- Jerarquía de wadge
- Jerarquía de Veblen