En topología general , la teoría de conjuntos y la teoría de juegos , un Banach - Mazur juego es un juego topológica jugado por dos jugadores, tratando de precisar los elementos de un conjunto (espacio). El concepto de un juego Banach-Mazur está estrechamente relacionado con el concepto de espacios Baire . Este juego fue el primer juego posicional infinito de información perfecta que se estudió. Fue introducido por Stanisław Mazur como problema 43 en el libro escocés , y Banach respondió a las preguntas de Mazur al respecto.
Definición
Dejar ser un espacio topológico no vacío , un subconjunto fijo de y una familia de subconjuntos de que tienen las siguientes propiedades:
- Cada miembro de tiene interior no vacio.
- Cada subconjunto abierto no vacío de contiene un miembro de .
Jugadores y elegir alternativamente elementos de para formar una secuencia
gana si y solo si
De lo contrario, gana. Esto se llama un juego general de Banach-Mazur y se denota por
Propiedades
- tiene una estrategia ganadora si y solo si es de la primera categoría en(un conjunto es de la primera categoría o escaso si es la unión contable de conjuntos densos en ninguna parte ).
- Si es un espacio métrico completo, tiene una estrategia ganadora si y solo si es comeager en algún subconjunto abierto no vacío de
- Si tiene la propiedad de Baire en, luego está determinado.
- Los espacios tamizables y fuertemente tamizables introducidos por Choquet se pueden definir en términos de estrategias estacionarias en modificaciones adecuadas del juego. Dejar denotar una modificación de dónde es la familia de todos los conjuntos abiertos no vacíos en y gana una jugada si y solo si
- Luego es tamizable si y solo si tiene una estrategia ganadora estacionaria en
- Una estrategia ganadora de Markov para en puede reducirse a una estrategia ganadora estacionaria. Además, si tiene una estrategia ganadora en , luego tiene una estrategia ganadora que depende solo de dos movimientos anteriores. Todavía es una cuestión sin resolver si una estrategia ganadora para puede reducirse a una estrategia ganadora que depende sólo de los dos últimos movimientos de .
- se llama débilmente - favorable si tiene una estrategia ganadora en . Luego, es un espacio de Baire si y solo si no tiene una estrategia ganadora en . De ello se deduce que cada uno débilmente-Es un espacio favorable un espacio Baire.
Se han propuesto muchas otras modificaciones y especializaciones del juego básico: para una descripción detallada de estas, consulte [1987].
El caso especial más común surge cuando y constan de todos los intervalos cerrados en el intervalo unitario. Luego gana si y solo si y gana si y solo si . Este juego se denota por
Una prueba simple: estrategias ganadoras
Es natural preguntar por lo que establece lo hace tener una estrategia ganadora en. Claramente, si esta vacio, tiene una estrategia ganadora, por lo tanto, la pregunta puede reformularse informalmente como qué tan "pequeño" (respectivamente, "grande") (respectivamente, el complemento de en ) tiene que ser para asegurar que tiene una estrategia ganadora. El siguiente resultado da una idea de cómo funcionan las pruebas utilizadas para derivar las propiedades en la sección anterior:
- Prueba. Indexe los elementos de X como una secuencia: Suponer ha escogido Si es el interior no vacío de luego es un conjunto abierto no vacío en entonces poder elegir Luego elige y, de manera similar, poder elegir que excluye . Continuando de esta manera, cada punto será excluido por el conjunto para que la intersección de todos no se cruzará .
Las suposiciones sobre son clave para la prueba: por ejemplo, si está equipado con la topología discreta y consta de todos los subconjuntos no vacíos de , luego no tiene una estrategia ganadora si (de hecho, su oponente tiene una estrategia ganadora). Se producen efectos similares siestá equipado con topología indiscreta y
Un resultado más fuerte se relaciona a conjuntos de primer orden.
- Proposición. tiene una estrategia ganadora en si y solo si es escaso .
Esto no implica que tiene una estrategia ganadora si no es exiguo. De hecho, si es un espacio métrico completo, entonces tiene una estrategia ganadora si y solo si hay alguna tal que es un subconjunto comeagre de Puede darse el caso de que ninguno de los jugadores tenga una estrategia ganadora: dejemos ser el intervalo unitario y ser la familia de intervalos cerrados en el intervalo unitario. El juego se determina si el conjunto objetivo tiene la propiedad de Baire , es decir, si se diferencia de un conjunto abierto por un conjunto escaso (pero lo contrario no es cierto). Suponiendo el axioma de elección , hay subconjuntos del intervalo unitario para los que no se determina el juego de Banach-Mazur.
Referencias
- [1957] Oxtoby, JC El juego de Banach-Mazur y el teorema de la categoría de Banach , Contribución a la teoría de los juegos, Volumen III, Annals of Mathematical Studies 39 (1957), Princeton, 159-163
- [1987] Telgársky, RJ Juegos topológicos: en el 50 aniversario del juego Banach-Mazur , Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), págs. 227-276.
- [2003] Julian P. Revalski El juego Banach-Mazur: Historia y desarrollos recientes , Notas del seminario, Pointe-a-Pitre, Guadalupe, Francia, 2003-2004
enlaces externos
- "Juego de Banach-Mazur" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]