En la teoría de grupos geométricos , un gráfico de grupos es un objeto que consta de una colección de grupos indexados por los vértices y aristas de un gráfico , junto con una familia de monomorfismos de los grupos de aristas en los grupos de vértices. Existe un grupo único, llamado grupo fundamental , asociado canónicamente a cada grafo de grupos conectados finitos. Admite una acción de preservación de la orientación en un árbol : el gráfico original de grupos se puede recuperar del gráfico del cociente y de los subgrupos estabilizadores. Esta teoría, comúnmente conocida como teoría de Bass-Serre , se debe al trabajo de Hyman Bassy Jean-Pierre Serre .
Definición
Una gráfica de grupos sobre una gráfica Y es una asignación a cada vértice x de Y de un grupo G x y a cada borde y de Y de un grupo G y así como monomorfismos φ y, 0 y φ y, 1 mapeo G y en los grupos asignados a los vértices en sus extremos.
Grupo fundamental
Sea T un árbol de expansión para Y y defina el grupo fundamental Γ como el grupo generado por los grupos de vértices G x y elementos y para cada arista de Y con las siguientes relaciones:
- y = y −1 si y es la arista y con orientación inversa.
- y φ y, 0 (x) y −1 = φ y, 1 (x) para todo x en G y .
- y = 1 si y es una ventaja en T .
Esta definición es independiente de la elección de T .
El beneficio de definir el grupoide fundamental de un gráfico de grupos, como lo muestra Higgins (1976) , es que se define independientemente del punto base o del árbol. También se demuestra allí una forma normal agradable para los elementos del grupoide fundamental. Esto incluye teoremas de forma normal para un producto libre con fusión y para una extensión HNN ( Bass 1993 ).
Teorema de estructura
Deje Γ sea el grupo fundamental que corresponde al árbol de expansión T . Para cada vértice xy arista y , G x y G y pueden identificarse con sus imágenes en Γ . Es posible definir un gráfico con vértices y aristas la unión disjunta de todos los espacios de clase lateral Γ / G x y Γ / G y respectivamente. Este gráfico es un árbol , llamado árbol de cobertura universal , sobre el que actúa Γ . Admite el gráfico Y como dominio fundamental . La gráfica de grupos dada por los subgrupos estabilizadores en el dominio fundamental corresponde a la gráfica original de grupos.
Ejemplos de
- Un gráfico de grupos en un gráfico con un borde y dos vértices corresponde a un producto libre con fusión .
- Un gráfico de grupos en un solo vértice con un bucle corresponde a una extensión HNN .
Generalizaciones
La generalización más simple posible de una gráfica de grupos es un complejo bidimensional de grupos . Estos se modelan en orbifolds que surgen de acciones cocompactas propiamente discontinuas de grupos discretos en complejos simpliciales bidimensionales que tienen la estructura de espacios CAT (0) . El cociente del complejo simplicial tiene grupos estabilizadores finitos unidos a vértices, aristas y triángulos junto con monomorfismos para cada inclusión de simplices. Se dice que un complejo de grupos se puede desarrollar si surge como el cociente de un complejo simple CAT (0). La capacidad de desarrollo es una condición de curvatura no positiva en el complejo de grupos: se puede verificar localmente comprobando que todos los circuitos que ocurren en los enlaces de vértices tienen una longitud de al menos seis. Tales complejos de grupos surgieron originalmente en la teoría de los edificios de Bruhat-Tits bidimensionales ; su definición general y estudio continuo se han inspirado en las ideas de Gromov .
Ver también
Referencias
- Bass, Hyman (1993), "Teoría de cobertura para gráficas de grupos", Journal of Pure and Applied Algebra , 89 (1–2): 3–47, doi : 10.1016 / 0022-4049 (93) 90085-8 , MR 1239551.
- Bridson, Martin R .; Haefliger, André (1999), Espacios métricos de curvatura no positiva , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 319 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64324-9, MR 1744486.
- Dicks, Warren; Dunwoody, MJ (1989), Grupos que actúan sobre gráficos , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 17 , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-23033-0, MR 1001965.
- Haefliger, André (1990), "Orbi-espaces [Orbispaces]", Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (Berna, 1988) , Progress in Mathematics (en francés), 83 , Boston, MA: Birkhäuser, págs. 203 –213, ISBN 0-8176-3508-4, MR 1086659
- Higgins, PJ (1976), "The fundamental groupoid of a graph of groups", Journal of the London Mathematical Society , 2nd Series, 13 (1): 145-149, doi : 10.1112 / jlms / s2-13.1.145 , MR 0401927.
- Serre, Jean-Pierre (2003), Trees , Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-44237-5, Señor 1954121. Traducido por John Stillwell de "arbres, amalgames, SL 2 ", escrito con la colaboración de Hyman Bass , 3ª edición, astérisque 46 (1983). Consulte el Capítulo I.5.