En geometría , el mosaico binario (a veces llamado mosaico de Böröczky ) [1] es un mosaico del plano hiperbólico , que se asemeja a un árbol cuádruple sobre el modelo de semiplano de Poincaré del plano hiperbólico. Fue estudiado por primera vez en 1974 por Károly Böröczky . [2] [3] [4]
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/b/be/Binary_Tiling.png/220px-Binary_Tiling.png)
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Losas
Los mosaicos son formas delimitadas por tres segmentos horocíclicos (dos de los cuales forman parte del mismo horociclo) y dos segmentos de línea . Todas las fichas son congruentes. Aunque están modelados por cuadrados o rectángulos del modelo de Poincaré, los mosaicos tienen cinco lados en lugar de cuatro, y no son polígonos hiperbólicos, porque sus bordes horocíclicos no son rectos. [2] Alternativamente, un mosaico combinatorio equivalente usa pentágonos hiperbólicos que conectan los mismos vértices en el mismo patrón. En esta forma de mosaico, los mosaicos no aparecen como rectángulos en el modelo de medio plano, y los horociclos formados por secuencias de bordes son reemplazados por apeirogons .
Enumeración y aperiodicidad
Hay innumerables mosaicos diferentes del plano hiperbólico por estos mosaicos, incluso cuando se modifican agregando protuberancias y muescas para obligarlos a unirse de borde a borde. Ninguno de estos mosaicos diferentes son periódicos (tienen un grupo de simetría cocompacto ), [2] [5] aunque algunos (como aquel en el que existe una línea que está completamente cubierta por los bordes de los mosaicos) tienen un grupo de simetría infinito unidimensional .
Solicitud
Este mosaico se puede utilizar para mostrar que el plano hiperbólico tiene mosaicos con mosaicos congruentes de área arbitrariamente pequeña. [3]
Ver también
Referencias
- ^ Dolbilin, Nikolai; Frettlöh, Dirk. "Propiedades de los mosaicos de Böröczky en espacios hiperbólicos de alta dimensión" (PDF) . Revista europea de combinatoria . 31 (4): 1181-1195. arXiv : 0705.0291 . doi : 10.1016 / j.ejc.2009.11.016 .
- ^ a b c Radin, Charles (2004). "Órbitas de orbes: el embalaje de la esfera cumple con los mosaicos de Penrose" (PDF) . American Mathematical Monthly . 111 (2): 137-149. doi : 10.2307 / 4145214 . JSTOR 4145214 .
- ^ a b Agol, Ian (26 de enero de 2018). "Azulejo más pequeño para teselar el plano hiperbólico" . MathOverflow .
- ^ Böröczky, Károly (1974). "Gömbkitöltések állandó görbületű terekben I" . Matematikai Lapok (en húngaro). 25 : 265-306. Como lo cita Radin.
- ^ Penrose, R. (1979-1980). "Pentaplejidad: una clase de teselaciones no periódicas del avión". El inteligente matemático . 2 (1): 32–37. doi : 10.1007 / BF03024384 . Señor 0558670 .