En matemáticas , el teorema de Beauville-Laszlo es un resultado en el álgebra conmutativa y la geometría algebraica que permite "pegar" dos haces sobre una vecindad infinitesimal de un punto en una curva algebraica . Fue probado por Arnaud Beauville e Yves Laszlo ( 1995 ).
El teorema
Aunque tiene implicaciones en geometría algebraica, el teorema es un resultado local y se establece en su forma más primitiva para anillos conmutativos . Si A es un anillo yf es un elemento distinto de cero de A, entonces podemos formar dos anillos derivados: la localización en f , A f , y la terminación en Af ,  ; ambos son A - álgebras . A continuación, asumimos que f es un divisor distinto de cero. Geométricamente, A es visto como un esquema X = Spec A y f como un divisor ( f ) en Spec A ; entonces A f es su complemento D f = Spec A f , el conjunto abierto principal determinado por f , mientras que  es una "vecindad infinitesimal" D = Spec  de ( f ). La intersección de D f y Spec  es una "vecindad infinitesimal perforada" D 0 alrededor de ( f ), igual a Spec  ⊗ A A f = Spec  f .
Supongamos ahora que tenemos un A - Módulo M ; geométricamente, M es una gavilla en Spec A , y podemos restringirlo a tanto el principal conjunto abierto D f y el barrio infinitesimal Spec  , produciendo un A f -módulo F y un  -module G . Algebraicamente,
(A pesar de la tentación de la notación de escribir , es decir, la finalización del módulo A M en el ideal Af , a menos que A sea noetheriano y M se genere finitamente, los dos no son de hecho iguales. Este fenómeno es la principal razón por la que el teorema lleva los nombres de Beauville y Laszlo; en el caso noetheriano, generado de forma finita, es, como señalaron los autores, un caso especial de descenso fielmente plano de Grothendieck .) F y G pueden restringirse aún más al vecindario perforado D 0 , y dado que ambas restricciones se derivan en última instancia de M , son isomorfos: tenemos un isomorfismo
Consideremos ahora la situación inversa: tenemos un anillo A y un elemento f , y dos módulos: un A f -módulo F y un  -módulo G , junto con un isomorfismo φ como anteriormente. Geométricamente, se nos da un esquema X y tanto un conjunto abierto D f como una vecindad "pequeña" D de su complemento cerrado ( f ); en D f y D se nos da dos poleas que están de acuerdo en la intersección D 0 = D f ∩ D . Si D fuera un conjunto abierto en la topología de Zariski, podríamos pegar las poleas; el contenido del teorema de Beauville-Laszlo es que, bajo un supuesto técnico de f , lo mismo es cierto para la vecindad infinitesimal D también.
Teorema : Dados A , f , F , G y φ como arriba, si G no tiene torsión f , entonces existe un módulo A M e isomorfismos
coherente con el isomorfismo φ : φ es igual a la composición
Los autores se refieren a la condición técnica de que G no tiene f- torsión como " f -regularidad". De hecho, se puede enunciar una versión más sólida de este teorema. Sea M ( A ) la categoría de los módulos A (cuyos morfismos son homomorfismos del módulo A ) y sea M f ( A ) la subcategoría completa de los módulos f regulares. En esta notación, obtenemos un diagrama conmutativo de categorías (nota M f ( A f ) = M ( A f )):
en el que las flechas son los mapas de cambio de base; por ejemplo, la flecha horizontal superior actúa sobre los objetos por M → M ⊗ A Â .
Teorema : El diagrama anterior es un diagrama cartesiano de categorías.
Versión global
En lenguaje geométrico, el teorema de Beauville-Laszlo permite pegar haces en un esquema afín unidimensional sobre una vecindad infinitesimal de un punto. Dado que las gavillas tienen un "carácter local" y dado que cualquier esquema es localmente afín, el teorema admite un enunciado global de la misma naturaleza. La versión de esta declaración que los autores encontraron digna de mención se refiere a los paquetes de vectores :
Teorema : Sea X una curva algebraica sobre un campo k , x a k - punto liso racional en X con vecindad infinitesimal D = Spec k [[ t ]], R a k -álgebra y r un entero positivo. Entonces, la categoría Vect r ( X R ) de los paquetes de vectores de rango r en la curva X R = X × Spec k Spec R encaja en un diagrama cartesiano:
Esto implica un corolario establecido en el documento:
Corolario : Con la misma configuración, denote por Triv ( X R ) el conjunto de triples ( E , τ , σ ), donde E es un paquete de vectores en X R , τ es una trivialización de E sobre ( X \ x ) R ( es decir, un isomorfismo con el trivial haz O ( X - X ) R ), y σ una trivialización sobre D R . Luego, los mapas en el diagrama anterior proporcionan una biyección entre Triv ( X R ) y GL r ( R (( t ))) (donde R (( t )) es el anillo formal de la serie Laurent ).
El corolario se deriva del teorema en que el triple está asociado con la matriz única que, vista como una "función de transición" sobre D 0 R entre los paquetes triviales sobre ( X \ x ) R y sobre D R , permite pegarlos para formar E , identificando las trivializaciones naturales del paquete encolado con σ y τ . La importancia de este corolario es que muestra que el Grassmanniano afín puede formarse a partir de los datos de paquetes sobre un disco infinitesimal o de paquetes sobre una curva algebraica completa.
Referencias
- Beauville, Arnaud ; Laszlo, Yves (1995), "Un Lemme de descente" (PDF) , Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Serie I , 320 (3): 335-340, ISSN 0.764 a 4442 , recuperados 2008-04-08