En matemáticas , la serie de Bell es una serie de potencias formales que se utiliza para estudiar las propiedades de las funciones aritméticas. La serie Bell fue presentada y desarrollada por Eric Temple Bell .
Dada una función aritmética y un primo , define la serie de poder formal , llamada la serie Bell de modulo como:
Se puede demostrar que dos funciones multiplicativas son idénticas si todas sus series de Bell son iguales; esto a veces se llama teorema de unicidad : funciones multiplicativas dadas y , uno tiene si y solo si :
- para todos los números primos .
Se pueden multiplicar dos series (a veces llamado teorema de la multiplicación ): Para dos funciones aritméticas cualesquiera y , dejar sea su circunvolución de Dirichlet . Entonces por cada prima, uno tiene:
En particular, esto hace que sea trivial encontrar la serie Bell de un inverso de Dirichlet .
Si es completamente multiplicativo , luego formalmente:
Ejemplos de
La siguiente es una tabla de la serie Bell de funciones aritméticas conocidas.
- La función de Möbius posee
- La función de Mobius al cuadrado tiene
- Totient de Euler posee
- La identidad multiplicativa de la convolución de Dirichlet posee
- La función de Liouville posee
- La función de potencia Id k tieneAquí, Id k es la función completamente multiplicativa.
- La función divisor posee
- La función de la unidad satisface, es decir, es la serie geométrica .
- Si es el poder de la función omega principal , entonces
- Suponga que f es multiplicativa y g es cualquier función aritmética que satisfagapara todos los números primos p y. Luego
- Si denota la función de Mobius de orden k , entonces
Ver también
Referencias
- Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0.335,10001