La ecuación de vorticidad de la dinámica de fluidos describe la evolución de la vorticidad ω de una partícula de un fluido a medida que se mueve con su flujo , es decir, la rotación local del fluido (en términos de cálculo vectorial, este es el rizo de la velocidad del flujo ). La ecuación es:
dónde D/Dtes el operador derivado del material , u es la velocidad del flujo , ρ es la densidad del fluido local , p es la presión local , τ es el tensor de tensión viscoso y B representa la suma de las fuerzas externas del cuerpo . El primer término fuente en el lado derecho representa el estiramiento del vórtice .
La ecuación es válida en ausencia de momentos de torsión concentrados y fuerzas lineales, para un fluido newtoniano compresible .
En el caso de fluidos incompresibles (es decir, bajo número de Mach ) e isotrópicos , con fuerzas corporales conservadoras , la ecuación se simplifica a la ecuación de transporte de vorticidad
donde ν es la viscosidad cinemática y ∇ 2 es el operador de Laplace .
Interpretación física
- El termino D ω/Dten el lado izquierdo está la derivada material del vector de vorticidad ω . Describe la tasa de cambio de vorticidad de la partícula de fluido en movimiento. Este cambio se puede atribuir a la inestabilidad en el flujo (∂ ω/∂ t, el término inestable ) o debido al movimiento de la partícula de fluido a medida que se mueve de un punto a otro ( ( u ∙ ∇) ω , el término de convección ).
- El término ( ω ∙ ∇) u en el lado derecho describe el estiramiento o inclinación de la vorticidad debido a los gradientes de velocidad del flujo. Tenga en cuenta que ( ω ∙ ∇) u es una cantidad vectorial, ya que ω ∙ ∇ es un operador diferencial escalar, mientras que ∇ u es una cantidad tensorial de nueve elementos.
- El término ω (∇ ∙ u ) describe el estiramiento de la vorticidad debido a la compresibilidad del flujo. Se deduce de la ecuación de Navier-Stokes para la continuidad , a saber
- donde v = 1/ρes el volumen específico del elemento fluido. Se puede pensar en ∇ ∙ u como una medida de la compresibilidad del flujo. A veces, el signo negativo se incluye en el término.
- El termino 1/ρ 2∇ ρ × ∇ p es el término baroclínico . Explica los cambios en la vorticidad debidos a la intersección de las superficies de densidad y presión.
- El término ∇ × ( ∇ ∙ τ/ρ) , explica la difusión de la vorticidad debido a los efectos viscosos.
- El término ∇ × B incluye cambios debidos a fuerzas corporales externas. Estas son fuerzas que se extienden sobre una región tridimensional del fluido, como la gravedad o las fuerzas electromagnéticas . (A diferencia de las fuerzas que actúan solo sobre una superficie (como un arrastre en una pared) o una línea (como la tensión superficial alrededor de un menisco ).
Simplificaciones
- En caso de fuerzas corporales conservadoras , ∇ × B = 0 .
- Para un fluido barotrópico , ∇ ρ × ∇ p = 0 . Esto también es cierto para un fluido de densidad constante (incluido el fluido incompresible) donde ∇ ρ = 0 . Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que un flujo incompresible , por lo que el término barotrópico no puede despreciarse.
- Para fluidos no viscosos, el tensor de viscosidad τ es cero.
Por lo tanto, para un fluido barotrópico no viscoso con fuerzas corporales conservadoras, la ecuación de vorticidad se simplifica a
Alternativamente, en caso de líquido incompresible, no viscoso con fuerzas corporales conservadoras,
Para una breve revisión de casos adicionales y simplificaciones, consulte también. [2] Para la ecuación de vorticidad en la teoría de la turbulencia, en el contexto de los flujos en los océanos y la atmósfera, consulte. [3]
Derivación
La ecuación de vorticidad se puede derivar de la ecuación de Navier-Stokes para la conservación del momento angular . En ausencia de torques concentrados y fuerzas lineales, se obtiene
Ahora, la vorticidad se define como la curva del vector de velocidad de flujo. Tomando la ecuación de la curva de la cantidad de movimiento se obtiene la ecuación deseada.
Las siguientes identidades son útiles en la derivación de la ecuación:
donde ϕ es cualquier campo escalar.
Notación tensorial
La ecuación de vorticidad se puede expresar en notación tensorial usando la convención de suma de Einstein y el símbolo de Levi-Civita e ijk :
En ciencias específicas
Ciencias atmosféricas
En las ciencias atmosféricas , la ecuación de vorticidad puede expresarse en términos de la vorticidad absoluta del aire con respecto a un marco inercial, o de la vorticidad con respecto a la rotación de la Tierra. La versión absoluta es
Aquí, η es el componente polar ( z ) de la vorticidad, ρ es la densidad atmosférica , u , v y w son los componentes de la velocidad del viento , y ∇ h es el componente bidimensional (es decir, solo componente horizontal) del .
Ver también
- Vorticidad
- Ecuación de vorticidad barotrópica
- Estiramiento de vórtice
- Vórtice de hamburguesas
Referencias
- ↑ Fetter, Alexander L .; Walecka, John D. (2003). Mecánica Teórica de Partículas y Continua (1ª ed.). Publicaciones de Dover. pag. 351. ISBN 978-0-486-43261-8.
- ^ Burr, K. P. "Marine Hydrodynamics, Lecture 9" (PDF) . Conferencias del MIT .
- ^ Salmon, Richard L. "Conferencias sobre dinámica de fluidos geofísica, capítulo 4" (PDF) . Prensa de la Universidad de Oxford; 1 edición (26 de febrero de 1998) .
- Manna, Utpal; Sritharan, S. S. (2007). "Funcionales de Lyapunov y disipatividad local para la ecuación de vorticidad en L p y espacios de Besov". Ecuaciones diferenciales e integrales . 20 (5): 581–598.
- Barbu, V .; Sritharan, S. S. (2000). " M -cuantificación acumulativa de la ecuación de vorticidad" (PDF) . En Balakrishnan, A. V. (ed.). Semi-grupos de operadores: teoría y aplicaciones . Boston: Birkhauser. págs. 296-303.
- Krigel, A. M. (1983). "Evolución del vórtice". Dinámica de fluidos geofísica y astrofísica . 24 : 213-223.