En matemáticas , el polinomio de Bernstein-Sato es un polinomio relacionado con los operadores diferenciales , introducido independientemente por Joseph Bernstein ( 1971 ) y Mikio Sato y Takuro Shintani ( 1972 , 1974 ), Sato (1990) . También se conoce como el b-función , la b-polinomio , y el polinomio de Bernstein , aunque no está relacionado con los polinomios de Bernstein utilizados en teoría de la aproximación . Tiene aplicaciones a la teoría de la singularidad , teoría de la monodromía.y teoría cuántica de campos .
Severino Coutinho ( 1995 ) da una introducción elemental, mientras que Armand Borel ( 1987 ) y Masaki Kashiwara ( 2003 ) dan explicaciones más avanzadas.
Definición y propiedades
Si es un polinomio en varias variables, entonces hay un polinomio distinto de cero y un operador diferencial con coeficientes polinomiales tales que
El polinomio de Bernstein-Sato es el polinomio mónico de menor grado entre dichos polinomios.. Su existencia se puede demostrar utilizando la noción de módulos D holonómicos .
Kashiwara (1976) demostró que todas las raíces del polinomio de Bernstein-Sato son números racionales negativos .
El polinomio de Bernstein-Sato también se puede definir para productos de potencias de varios polinomios ( Sabbah 1987 ). En este caso es un producto de factores lineales con coeficientes racionales. [ cita requerida ]
Nero Budur, Mircea Mustață y Morihiko Saito ( 2006 ) generalizaron el polinomio de Bernstein-Sato a variedades arbitrarias.
Tenga en cuenta que el polinomio de Bernstein-Sato se puede calcular algorítmicamente. Sin embargo, estos cálculos son difíciles en general. Existen implementaciones de algoritmos relacionados en sistemas de álgebra computacional RISA / Asir, Macaulay2 y SINGULAR .
Daniel Andres, Viktor Levandovskyy y Jorge Martín-Morales ( 2009 ) presentaron algoritmos para calcular el polinomio Bernstein-Sato de una variedad afín junto con una implementación en el sistema de álgebra computacional SINGULAR .
Christine Berkesch y Anton Leykin ( 2010 ) describieron algunos de los algoritmos para calcular polinomios de Bernstein-Sato por computadora.
Ejemplos de
- Si luego
- por lo que el polinomio de Bernstein-Sato es
- Si luego
- entonces
- El polinomio de Bernstein-Sato de x 2 + y 3 es
- Si t ij son n 2 variables, entonces el polinomio de Bernstein-Sato de det ( t ij ) viene dado por
- que se sigue de
- donde Ω es el proceso omega de Cayley , que a su vez se deriva de la identidad de Capelli .
Aplicaciones
- Si es un polinomio no negativo, entonces , inicialmente definido para s con una parte real no negativa, se puede continuar analíticamente a una función valorada de distribución meromórfica de s mediante el uso repetido de la ecuación funcional
- Puede tener polos siempre que b ( s + n ) sea cero para un número entero no negativo n .
- Si f ( x ) es un polinomio, no idénticamente cero, entonces tiene una g inversa que es una distribución; [a] en otras palabras, f g = 1 como distribuciones. Si f ( x ) no es negativo, la inversa se puede construir usando el polinomio de Bernstein-Sato tomando el término constante de la expansión de Laurent de f ( x ) s en s = −1. Para f ( x ) arbitrario, simplemente tome veces el inverso de
- El teorema de Malgrange-Ehrenpreis establece que todo operador diferencial con coeficientes constantes tiene una función de Green . Al tomar las transformadas de Fourier, esto se sigue del hecho de que cada polinomio tiene una distribución inversa, que se demuestra en el párrafo anterior.
- Pavel Etingof ( 1999 ) mostró cómo utilizar el polinomio de Bernstein para definir rigurosamente la regularización dimensional , en el caso euclidiano masivo.
- La ecuación funcional de Bernstein-Sato se utiliza en los cálculos de algunos de los tipos más complejos de integrales singulares que ocurren en la teoría cuántica de campos Fyodor Tkachov ( 1997 ). Tales cálculos son necesarios para las mediciones de precisión en la física de partículas elementales como se practica, por ejemplo, en el CERN (véanse los artículos que citan ( Tkachov 1997 )). Sin embargo, los casos más interesantes requieren una simple generalización de la ecuación funcional de Bernstein-Sato al producto de dos polinomios, donde x tiene 2-6 componentes escalares, y el par de polinomios tiene órdenes 2 y 3. Desafortunadamente, una determinación de fuerza bruta de los correspondientes operadores diferenciales y pues estos casos hasta ahora han resultado prohibitivamente engorrosos. Idear formas de evitar la explosión combinatoria del algoritmo de fuerza bruta sería de gran valor en tales aplicaciones.
Notas
- ^ Advertencia: La inversa no es única en general, porque si f tiene ceros, entonces hay distribuciones cuyo producto con f es cero, y sumar una de estas a una inversa de f es otra inversa de f .
Referencias
- Andrés, Daniel; Levandovskyy, Viktor; Martín-Morales, Jorge (2009), "Intersección principal y polinomio Bernstein-Sato de una variedad afín", Proc. ISSAC 2009 , Asociación de Maquinaria de Computación : 231, arXiv : 1002.3644 , doi : 10.1145 / 1576702.1576735 , ISBN 9781605586090, S2CID 2747775
- Berkesch, Christine; Leykin, Anton (2010). "Algoritmos para polinomios de Bernstein-Sato e ideales multiplicadores". Proc. ISSAC 2010 . arXiv : 1002.1475 . Código bibliográfico : 2010arXiv1002.1475B .
- Bernstein, Joseph (1971). "Módulos sobre un anillo de operadores diferenciales. Estudio de las soluciones fundamentales de ecuaciones con coeficientes constantes". Análisis funcional y sus aplicaciones . 5 (2): 89–101. doi : 10.1007 / BF01076413 . Señor 0290097 . S2CID 124605141 .
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- Etingof, Pavel (1999). "Nota sobre regularización dimensional". Campos cuánticos y cadenas: un curso para matemáticos . 1 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 597–607. ISBN 978-0-8218-2012-4. Señor 1701608 . (Princeton, Nueva Jersey, 1996/1997)
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la traducción al inglés de la conferencia de Sato de la nota de Shintani
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