La paradoja de Bertrand es un problema dentro de la interpretación clásica de la teoría de la probabilidad . Joseph Bertrand lo introdujo en su obra Calcul des probabilités (1889), [1] como un ejemplo para mostrar que el principio de indiferencia puede no producir resultados definidos, bien definidos, para probabilidades si se aplica acríticamente cuando el dominio de posibilidades es infinito. [2]
La formulación de Bertrand del problema
La paradoja de Bertrand se presenta generalmente de la siguiente manera: [3] Considere un triángulo equilátero inscrito en un círculo . Suponga que se elige al azar una cuerda del círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo?
Bertrand dio tres argumentos (cada uno usando el principio de indiferencia), todos aparentemente válidos, pero arrojando resultados diferentes:
- El método de los "puntos finales aleatorios": Elija dos puntos aleatorios en la circunferencia del círculo y dibuje la cuerda que los une. Para calcular la probabilidad en cuestión, imagine que el triángulo gira de manera que su vértice coincida con uno de los extremos de la cuerda. Observe que si el otro punto final de la cuerda se encuentra en el arco entre los puntos finales del lado del triángulo opuesto al primer punto, la cuerda es más larga que un lado del triángulo. La longitud del arco es un tercio de la circunferencia del círculo, por lo tanto, la probabilidad de que una cuerda aleatoria sea más larga que un lado del triángulo inscrito es1/3.
- El método del "punto radial aleatorio": Elija un radio del círculo, elija un punto en el radio y construya la cuerda a través de este punto y perpendicular al radio. Para calcular la probabilidad en cuestión, imagine que el triángulo gira de manera que un lado sea perpendicular al radio. La cuerda es más larga que un lado del triángulo si el punto elegido está más cerca del centro del círculo que el punto donde el lado del triángulo se cruza con el radio. El lado del triángulo biseca el radio, por lo tanto, la probabilidad de que una cuerda aleatoria sea más larga que un lado del triángulo inscrito es 1/2.
- El método del "punto medio aleatorio": Elija un punto en cualquier lugar dentro del círculo y construya una cuerda con el punto elegido como su punto medio. La cuerda es más larga que un lado del triángulo inscrito si el punto elegido cae dentro de un círculo concéntrico de radio 1/2el radio del círculo más grande. El área del círculo más pequeño es un cuarto del área del círculo más grande, por lo tanto, la probabilidad de que una cuerda aleatoria sea más larga que un lado del triángulo inscrito es 1/4.
Estos tres métodos de selección difieren en cuanto al peso que dan a las cuerdas que son diámetros . Este problema se puede evitar "regularizando" el problema para excluir diámetros, sin afectar las probabilidades resultantes. [3] Pero como se presentó anteriormente, en el método 1, cada cuerda se puede elegir exactamente de una manera, independientemente de si es un diámetro o no; en el método 2, cada diámetro se puede elegir de dos maneras, mientras que cada cuerda se puede elegir de una sola manera; y en el método 3, cada elección de punto medio corresponde a una sola cuerda, excepto el centro del círculo, que es el punto medio de todos los diámetros.
Diagramas de dispersión que muestran distribuciones de Bertrand simuladas, puntos medios
/ acordes elegidos al azar utilizando 1 de 3 métodos. [ cita requerida ]
Se pueden imaginar fácilmente otros métodos para seleccionar puntos medios y acordes; muchos engendran distribuciones con una proporción diferente de cuerdas que son más largas que un lado del triángulo inscrito. [ cita requerida ]
Solución clásica
La solución clásica del problema (presentada, por ejemplo, en el propio trabajo de Bertrand) depende del método por el cual se elige una cuerda "al azar". [3] El argumento es que si se especifica el método de selección aleatoria, el problema tendrá una solución bien definida (determinada por el principio de indiferencia). Las tres soluciones presentadas por Bertrand corresponden a diferentes métodos de selección y, en ausencia de más información, no hay razón para preferir una sobre otra; en consecuencia, el problema tal como se ha dicho no tiene una solución única. [4] Esta y otras paradojas de la interpretación clásica de la probabilidad justificaron formulaciones más estrictas, incluida la probabilidad frecuentista y la probabilidad subjetivista bayesiana . [ cita requerida ]
La solución de Jaynes utilizando el principio de "máxima ignorancia"
En su artículo de 1973 "El problema bien planteado", [5] Edwin Jaynes propuso una solución a la paradoja de Bertrand, basada en el principio de "ignorancia máxima": que no deberíamos utilizar ninguna información que no esté dada en el enunciado del problema. Jaynes señaló que el problema de Bertrand no especifica la posición o el tamaño del círculo y argumentó que, por lo tanto, cualquier solución definitiva y objetiva debe ser "indiferente" al tamaño y la posición. En otras palabras: la solución debe ser invariante tanto en la escala como en la traducción .
Para ilustrar: suponga que los acordes se colocan al azar en un círculo con un diámetro de 2, digamos arrojándole pajitas desde lejos y convirtiéndolos en acordes por extensión / restricción. Ahora se coloca otro círculo con un diámetro más pequeño (por ejemplo, 1,1) en el círculo más grande. Entonces, la distribución de los acordes en ese círculo más pequeño debe ser la misma que la distribución restringida de los acordes en el círculo más grande (nuevamente usando la extensión / restricción de las pajillas generadoras). Por lo tanto, si el círculo más pequeño se mueve dentro del círculo más grande, la distribución restringida no debería cambiar. Se puede ver muy fácilmente que habría un cambio para el método 3: la distribución de la cuerda en el círculo rojo pequeño se ve cualitativamente diferente de la distribución en el círculo grande:
Lo mismo ocurre con el método 1, aunque es más difícil de ver en una representación gráfica. El método 2 es el único que es invariante de escala e invariante de traducción; el método 3 es simplemente invariante de escala, el método 1 no lo es.
Sin embargo, Jaynes no solo usó invariancias para aceptar o rechazar métodos dados: esto dejaría la posibilidad de que haya otro método aún no descrito que cumpla con sus criterios de sentido común. Jaynes usó las ecuaciones integrales que describen las invariancias para determinar directamente la distribución de probabilidad. En este problema, las ecuaciones integrales de hecho tienen una solución única, y es precisamente lo que se llamó "método 2" anteriormente, el método de radio aleatorio .
En un artículo de 2015, [3] Alon Drory argumentó que el principio de Jaynes también puede dar lugar a las otras dos soluciones de Bertrand. Drory sostiene que la implementación matemática de las propiedades de invariancia anteriores no es única, sino que depende del procedimiento subyacente de selección aleatoria que se usa (como se mencionó anteriormente, Jaynes usó un método de arrojar pajitas para elegir acordes aleatorios). Demuestra que cada una de las tres soluciones de Bertrand puede derivarse usando invariancia rotacional, de escala y traslacional, concluyendo que el principio de Jaynes está tan sujeto a interpretación como el principio de indiferencia en sí mismo.
Por ejemplo, podemos considerar lanzar un dardo al círculo y dibujar la cuerda con el punto elegido como centro. Entonces, la distribución única que es invariante de traslación, rotación y escala es la que se llama "método 3" anteriormente.
Asimismo, el "método 1" es la distribución invariante única para un escenario en el que se utiliza una ruleta para seleccionar un punto final del acorde, y luego se utiliza de nuevo para seleccionar la orientación del acorde. Aquí, la invariancia en cuestión consiste en una invariancia rotacional para cada uno de los dos espines. También es la distribución invariante de rotación y escala única para un escenario en el que una varilla se coloca verticalmente sobre un punto de la circunferencia del círculo y se deja caer a la posición horizontal (con la condición de que aterrice parcialmente dentro del círculo).
Experimentos fisicos
El "Método 2" es la única solución que cumple con los invariantes de transformación que están presentes en ciertos sistemas físicos, como la mecánica estadística y la física de gases, en el caso específico del experimento propuesto por Jaynes de lanzar pajitas desde la distancia a un círculo pequeño. No obstante, se pueden diseñar otros experimentos prácticos que den respuestas de acuerdo con los otros métodos. Por ejemplo, para llegar a la solución del "método 1", el método de puntos finales aleatorios , se puede colocar una ruleta en el centro del círculo y dejar que los resultados de dos giros independientes marquen los puntos finales de la cuerda. Para llegar a la solución del "método 3", se podría cubrir el círculo con melaza y marcar el primer punto en el que aterriza una mosca como el punto medio de la cuerda. [6] Varios observadores han diseñado experimentos para obtener las diferentes soluciones y han verificado los resultados de forma empírica. [7] [8] [3]
Desarrollos recientes
En su artículo de 2007, "La paradoja de Bertrand y el principio de indiferencia", [2] Nicholas Shackel afirma que después de más de un siglo la paradoja sigue sin resolverse y continúa refutando el principio de indiferencia .
Shackel [2] enfatiza que hasta ahora se han adoptado generalmente dos enfoques diferentes para tratar de resolver la paradoja de Bertrand: aquellos en los que se consideró una distinción entre problemas no equivalentes y aquellos en los que se asumió que el problema estaba bien planteado . Shackel cita a Louis Marinoff [4] como un representante típico de la estrategia de distinción , y a Edwin Jaynes [5] como un representante típico de la estrategia de posar bien .
Sin embargo, en un trabajo reciente, "Resolver el difícil problema de la paradoja de Bertrand", [9] Diederik Aerts y Massimiliano Sassoli de Bianchi consideran que es necesaria una estrategia mixta para abordar la paradoja de Bertrand. Según estos autores, primero hay que desambiguar el problema especificando de manera muy clara la naturaleza de la entidad que está sujeta a la aleatorización, y solo una vez hecho esto, el problema puede considerarse bien planteado. en el sentido de Jaynes, de modo que se pueda utilizar el principio de máxima ignorancia para resolverlo. Con este fin, y dado que el problema no especifica cómo se debe seleccionar el acorde, el principio debe aplicarse no al nivel de las diferentes opciones posibles de un acorde, sino al nivel mucho más profundo de las diferentes formas posibles. de elegir un acorde. Esto requiere el cálculo de un metapromedio sobre todas las formas posibles de seleccionar un acorde, que los autores denominan promedio universal . Para manejarlo, utilizan un método de discretización inspirado en lo que se hace en la definición de la ley de probabilidad en los procesos de Wiener . El resultado que obtienen está de acuerdo con el resultado numérico de Jaynes, aunque su problema bien planteado es diferente al de Jaynes.
Notas
- ^ Bertrand, Joseph (1889), " Calcul des probabilités ", Gauthier-Villars , p. 5-6.
- ^ a b c Shackel, N. (2007), "La paradoja de Bertrand y el principio de indiferencia" (PDF) , Filosofía de la ciencia , 74 (2): 150-175, doi : 10.1086 / 519028
- ^ a b c d e Drory, Alon (2015), "Fracaso y usos del principio de grupos de transformación de Jaynes", Fundamentos de la física , 45 (4): 439–460, arXiv : 1503.09072 , Bibcode : 2015FoPh ... 45..439D , doi : 10.1007 / s10701-015-9876-7
- ^ a b Marinoff, L. (1994), "Una resolución de la paradoja de Bertrand", Filosofía de la ciencia , 61 : 1–24, doi : 10.1086 / 289777
- ^ a b Jaynes, ET (1973), "El problema bien planteado" (PDF) , Fundamentos de la física , 3 (4): 477–493, Bibcode : 1973FoPh .... 3..477J , doi : 10.1007 / BF00709116
- ^ Gardner, Martin (1987), The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions , University of Chicago Press , págs. 223–226 , ISBN 978-0-226-28253-4
- ^ Tissler, PE (marzo de 1984), "La paradoja de Bertrand", The Mathematical Gazette , The Mathematical Association, 68 (443): 15-19, doi : 10.2307 / 3615385 , JSTOR 3615385
- ^ Kac, Mark (mayo-junio de 1984), "Marginalia: more on randomness", American Scientist , 72 (3): 282–283
- ^ Aerts, D. y Sassoli de Bianchi, M. (2014), "Resolviendo el difícil problema de la paradoja de Bertrand", Journal of Mathematical Physics , 55 (8): 083503, arXiv : 1403.4139 , Bibcode : 2014JMP .... 55h3503A , doi : 10.1063 / 1.4890291
Otras lecturas
- Clark, Michael (2012), Paradoxes from A to Z (3rd ed.), Routledge , ISBN 978-0-415-53857-2
- Gyenis, Zalán; Rédei, Miklós (1 de junio de 2015), "Defusing Bertrand's Paradox" , British Journal for the Philosophy of Science , 66 (2): 349–373, doi : 10.1093 / bjps / axt036 , archivado desde el original el 5 de agosto de 2014
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Problema de Bertrand" . MathWorld .