El principio de indiferencia (también llamado principio de razón insuficiente ) es una regla para asignar probabilidades epistémicas . El principio de indiferencia establece que en ausencia de cualquier evidencia relevante, los agentes deben distribuir su credibilidad (o "grados de creencia") por igual entre todos los posibles resultados bajo consideración. [1]
En probabilidad bayesiana , este es el a priori no informativo más simple . El principio de indiferencia no tiene sentido bajo la interpretación de frecuencia de la probabilidad , [ cita requerida ] en la que las probabilidades son frecuencias relativas en lugar de grados de creencia en proposiciones inciertas, condicionadas a la información del estado.
Ejemplos de
Los ejemplos de libros de texto para la aplicación del principio de indiferencia son monedas , dados y cartas .
En un sistema macroscópico , al menos, se debe suponer que las leyes físicas que gobiernan el sistema no se conocen lo suficientemente bien como para predecir el resultado. Como observó hace algunos siglos John Arbuthnot (en el prefacio de De las leyes del azar , 1692),
- Es imposible que un dado, con una fuerza y una dirección tan determinadas, no caiga en un lado tan determinado, sólo que no conozco la fuerza y la dirección que lo hacen caer en un lado tan determinado, y por lo tanto llámalo azar, que no es más que la falta de arte ...
Con el tiempo y los recursos suficientes, no hay ninguna razón fundamental para suponer que no se podrían realizar mediciones adecuadamente precisas, lo que permitiría predecir el resultado de monedas, dados y cartas con gran precisión: el trabajo de Persi Diaconis con el lanzamiento de monedas. máquinas es un ejemplo práctico de esto.
Monedas
A simétrica moneda tiene dos caras, marcadas arbitrariamente cabezas (muchas monedas tienen la cabeza de una persona retratado en un lado) y colas . Suponiendo que la moneda debe caer de un lado o del otro, los resultados de un lanzamiento de moneda son mutuamente excluyentes, exhaustivos e intercambiables. De acuerdo con el principio de indiferencia, asignamos a cada uno de los posibles resultados una probabilidad de 1/2.
En este análisis está implícito que las fuerzas que actúan sobre la moneda no se conocen con precisión. Si el impulso impartido a la moneda cuando se lanza se conociera con suficiente precisión, el vuelo de la moneda podría predecirse de acuerdo con las leyes de la mecánica. Por tanto, la incertidumbre en el resultado del lanzamiento de una moneda se deriva (en su mayor parte) de la incertidumbre con respecto a las condiciones iniciales. Este punto se analiza con más detalle en el artículo sobre lanzamiento de monedas .
Dado
Un dado simétrico tiene n caras, etiquetadas arbitrariamente de 1 a n . Un dado cúbico ordinario tiene n = 6 caras, aunque se puede construir un dado simétrico con diferentes números de caras; ver Dados . Suponemos que el dado aterrizará con una cara u otra hacia arriba, y no hay otros resultados posibles. Aplicando el principio de indiferencia, asignamos a cada uno de los posibles resultados una probabilidad de 1 / n . Al igual que con las monedas, se supone que las condiciones iniciales de lanzamiento de los dados no se conocen con suficiente precisión para predecir el resultado de acuerdo con las leyes de la mecánica. Por lo general, los dados se lanzan para rebotar en una mesa u otra superficie (s). Esta interacción hace que la predicción del resultado sea mucho más difícil.
El supuesto de simetría es crucial aquí. Supongamos que se nos pide apostar a favor o en contra del resultado "6". Podríamos razonar que hay dos resultados relevantes aquí "6" o "no 6", y que son mutuamente excluyentes y exhaustivos. Esto sugiere asignar la probabilidad 1/2 a cada uno de los dos resultados.
Tarjetas
Una baraja estándar contiene 52 cartas, a cada una de las cuales se le asigna una etiqueta única de manera arbitraria, es decir, ordenada arbitrariamente. Sacamos una carta de la baraja; aplicando el principio de indiferencia, asignamos a cada uno de los posibles resultados una probabilidad de 1/52.
Este ejemplo, más que los otros, muestra la dificultad de aplicar realmente el principio de indiferencia en situaciones reales. Lo que realmente queremos decir con la frase "ordenado arbitrariamente" es simplemente que no tenemos ninguna información que nos lleve a favorecer una tarjeta en particular. En la práctica, esto rara vez es el caso: una nueva baraja de cartas ciertamente no está en un orden arbitrario, y tampoco una baraja inmediatamente después de una mano de cartas. En la práctica, por lo tanto, barajamos las cartas; esto no destruye la información que tenemos, sino que (con suerte) hace que nuestra información sea prácticamente inutilizable, aunque en principio todavía se puede usar. De hecho, algunos jugadores expertos de blackjack pueden rastrear los ases a través del mazo; para ellos, no se cumple la condición para aplicar el principio de indiferencia.
Aplicación a variables continuas
La aplicación incorrecta del principio de indiferencia puede conducir fácilmente a resultados sin sentido, especialmente en el caso de variables continuas multivariadas. Un caso típico de mal uso es el siguiente ejemplo:
- Suponga que hay un cubo escondido en una caja. Una etiqueta en la caja dice que el cubo tiene una longitud de lado entre 3 y 5 cm.
- No conocemos la longitud real del lado, pero podríamos suponer que todos los valores son igualmente probables y simplemente elegir el valor medio de 4 cm.
- La información de la etiqueta nos permite calcular que la superficie del cubo está entre 54 y 150 cm 2 . No conocemos el área de superficie real, pero podríamos suponer que todos los valores son igualmente probables y simplemente elegir el valor medio de 102 cm 2 .
- La información de la etiqueta nos permite calcular que el volumen del cubo está entre 27 y 125 cm 3 . No conocemos el volumen real, pero podríamos suponer que todos los valores son igualmente probables y simplemente elegir el valor medio de 76 cm 3 .
- Sin embargo, ahora hemos llegado a la conclusión imposible de que el cubo tiene una longitud de lado de 4 cm, un área de superficie de 102 cm 2 y un volumen de 76 cm 3 .
En este ejemplo, las estimaciones mutuamente contradictorias de la longitud, el área de la superficie y el volumen del cubo surgen porque hemos asumido tres distribuciones mutuamente contradictorias para estos parámetros: una distribución uniforme para cualquiera de las variables implica una distribución no uniforme para la otra. dos. En general, el principio de indiferencia no indica qué variable (por ejemplo, en este caso, longitud, área de superficie o volumen) debe tener una distribución de probabilidad epistémica uniforme.
Otro ejemplo clásico de este tipo de mal uso es la paradoja de Bertrand . Edwin T. Jaynes introdujo el principio de grupos de transformación , que puede producir una distribución de probabilidad epistémica para este problema. Esto generaliza el principio de indiferencia, al decir que uno es indiferente entre problemas equivalentes en lugar de indiferente entre proposiciones. Esto todavía se reduce al principio ordinario de indiferencia cuando se considera que una permutación de las etiquetas genera problemas equivalentes (es decir, utilizando el grupo de transformación de permutación). Para aplicar esto al ejemplo del cuadro anterior, tenemos tres variables aleatorias relacionadas por ecuaciones geométricas. Si no tenemos ninguna razón para favorecer un trío de valores sobre otro, entonces nuestras probabilidades previas deben estar relacionadas por la regla para cambiar variables en distribuciones continuas. Sea L la longitud y V el volumen. Entonces debemos tener
- ,
dónde son las funciones de densidad de probabilidad (pdf) de las variables declaradas. Esta ecuación tiene una solución general:, donde K es una constante de normalización, determinada por el rango de L , en este caso igual a:
Para poner esto "a prueba", pedimos la probabilidad de que la longitud sea menor que 4. Esto tiene probabilidad de:
- .
Para el volumen, esto debe ser igual a la probabilidad de que el volumen sea menor que 4 3 = 64. La función de densidad de probabilidad del volumen es
- .
Y luego la probabilidad de un volumen menor que 64 es
- .
Así hemos logrado la invariancia con respecto al volumen y la longitud. También se puede mostrar la misma invariancia con respecto a que el área de la superficie sea menor que 6 (4 2 ) = 96. Sin embargo, tenga en cuenta que esta asignación de probabilidad no es necesariamente una "correcta". La distribución exacta de longitudes, volumen o área de superficie dependerá de cómo se lleve a cabo el "experimento".
La hipótesis fundamental de la física estadística , de que dos microestados cualesquiera de un sistema con la misma energía total son igualmente probables en equilibrio , es en cierto sentido un ejemplo del principio de indiferencia. Sin embargo, cuando los microestados se describen mediante variables continuas (como posiciones y momentos), se necesita una base física adicional para explicar bajo qué parametrización la densidad de probabilidad será uniforme. El teorema de Liouville justifica el uso de variables conjugadas canónicamente , como las posiciones y sus momentos conjugados.
La paradoja vino / agua muestra un dilema con variables vinculadas y cuál elegir.
Historia
Los escritores originales sobre probabilidad, principalmente Jacob Bernoulli y Pierre Simon Laplace , consideraban que el principio de indiferencia era intuitivamente obvio y ni siquiera se molestaron en darle un nombre. Laplace escribió:
- La teoría del azar consiste en reducir todos los sucesos del mismo género a un cierto número de casos igualmente posibles, es decir, a aquellos sobre los que podemos estar igualmente indecisos en cuanto a su existencia, y en determinar el número de casos. favorable al evento cuya probabilidad se busca. La razón de este número al de todos los casos posibles es la medida de esta probabilidad, que es, por tanto, simplemente una fracción cuyo numerador es el número de casos favorables y cuyo denominador es el número de todos los casos posibles.
Estos escritores anteriores, Laplace en particular, generalizaron ingenuamente el principio de indiferencia al caso de los parámetros continuos, dando la llamada "distribución de probabilidad previa uniforme", una función que es constante sobre todos los números reales. Usó esta función para expresar una completa falta de conocimiento sobre el valor de un parámetro. Según Stigler (página 135), la suposición de Laplace de probabilidades previas uniformes no era una suposición metafísica. Fue una suposición implícita hecha para facilitar el análisis.
El principio de razón insuficiente era su nombre de pila, que se le da por escritores posteriores, posiblemente como un juego de Leibniz 's principio de razón suficiente . Estos escritores posteriores ( George Boole , John Venn y otros) se opusieron al uso del uniforme anterior por dos razones. La primera razón es que la función constante no es normalizable y, por lo tanto, no es una distribución de probabilidad adecuada. La segunda razón es su inaplicabilidad a variables continuas, como se describió anteriormente. (Sin embargo, estos problemas paradójicos pueden resolverse. En el primer caso, una constante, o cualquier polinomio finito más general, es normalizable dentro de cualquier rango finito: el rango [0,1] es todo lo que importa aquí. Alternativamente, la función puede modificarse para que sea cero fuera de ese rango, como en el caso de una distribución uniforme continua . En el segundo caso, no hay ambigüedad siempre que el problema esté "bien planteado", de modo que no se puedan hacer suposiciones injustificadas, o deban hacerse, fijando así la función de densidad de probabilidad previa apropiada o la función generadora de momento previo (con variables fijadas apropiadamente) para ser usada para la probabilidad misma. Ver la paradoja de Bertrand (probabilidad) para un caso análogo.)
El "principio de razón insuficiente" fue rebautizado como "principio de indiferencia" por el economista John Maynard Keynes ( 1921 ), quien tuvo cuidado de señalar que sólo se aplica cuando no hay conocimiento que indique probabilidades desiguales.
Los intentos de asentar la noción sobre bases filosóficas más firmes han comenzado generalmente con el concepto de equiposabilidad y han progresado de él a equiprobabilidad .
Al principio de indiferencia se le puede dar una justificación lógica más profunda al señalar que a los estados equivalentes de conocimiento se les deben asignar probabilidades epistémicas equivalentes. Este argumento fue propuesto por ET Jaynes : conduce a dos generalizaciones, a saber, el principio de grupos de transformación como en el anterior de Jeffreys , y el principio de máxima entropía .
De manera más general, se habla de antecedentes no informativos .
Ver también
- Epistemología bayesiana
- Regla de sucesión : una fórmula para estimar probabilidades subyacentes cuando hay pocas observaciones, o para eventos que no se ha observado que ocurran en absoluto en datos de muestra (finitos).
Referencias
- ^ Eva, Benjamin (30 de abril de 2019). "Principios de la indiferencia" . philsci-archive.pitt.edu (Preimpresión) . Consultado el 30 de septiembre de 2019 .
- Diaconis, Persi; Keller, Joseph B. (1989). "Fair Dice". The American Mathematical Monthly . 96 (4): 337–339. doi : 10.2307 / 2324089 . JSTOR 2324089 . (Discusión de dados que son justos "por simetría" y "por continuidad").
- Jaynes, Edwin Thompson (2003). Teoría de la probabilidad: la lógica de la ciencia . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-59271-2.
- Keynes, John Maynard (1921). "Capítulo IV. El principio de indiferencia" . Tratado de probabilidad . 4 . Macmillan and Co. págs. 41–64.
- Stigler, Stephen M. (1986). La historia de la estadística: la medición de la incertidumbre antes de 1900 . Cambridge, Mass: Belknap Press de Harvard University Press. ISBN 0-674-40340-1.