En probabilidad y estadística , un problema de urna es un ejercicio mental idealizado en el que algunos objetos de interés real (como átomos, personas, coches, etc.) se representan como bolas de colores en una urna u otro recipiente. Se pretende sacar una o más bolas de la urna; el objetivo es determinar la probabilidad de dibujar un color u otro, o algunas otras propiedades. A continuación se describen varias variaciones importantes.
Un modelo de urna es un conjunto de probabilidades que describen eventos dentro de un problema de urna, o es una distribución de probabilidad , o una familia de tales distribuciones, de variables aleatorias asociadas con problemas de urna. [1]
Modelo de urna básica
En este modelo básico de urna en la teoría de la probabilidad , la urna contiene x bolas blancas ey negras, bien mezcladas. Se saca una bola al azar de la urna y se observa su color; luego se vuelve a colocar en la urna (o no) y se repite el proceso de selección. [2]
Las posibles preguntas que se pueden responder en este modelo son:
- ¿Puedo inferir la proporción de bolas blancas y negras a partir de n observaciones? ¿Con qué grado de confianza?
- Sabiendo x y y , ¿cuál es la probabilidad de sacar una secuencia específica (por ejemplo, uno blanco seguido de uno negro)?
- Si solo observo n bolas, ¿qué tan seguro puedo estar de que no hay bolas negras? (Una variación de la primera pregunta)
Ejemplos de problemas de urnas
- Distribución beta-binomial : igual que arriba, excepto que cada vez que se observa una bola, se agrega una bola adicional del mismo color a la urna. Por lo tanto, aumenta el número total de canicas en la urna. Ver modelo de urna Pólya .
- distribución binomial : la distribución del número de sorteos exitosos (ensayos), es decir, extracción de bolas blancas, dado n sorteos con reemplazo en una urna con bolas blancas y negras. [2]
- Urna Hoppe : una urna Pólya con una bola adicional llamada mutante . Cuando se dibuja el mutador, se reemplaza junto con una bola adicional de un color completamente nuevo.
- Distribución hipergeométrica : las bolas no se devuelven a la urna una vez extraídas. Por lo tanto, el número total de canicas en la urna disminuye. Esto se conoce como "dibujo sin reemplazo", en oposición a "dibujo con reemplazo".
- Distribución hipergeométrica multivariada : como arriba, pero con bolas de más de dos colores. [2]
- distribución geométrica : número de dibujos antes del primer dibujo exitoso (correctamente coloreado). [2]
- distribución multinomial : la urna contiene bolas en más de dos colores. [2]
- distribución binomial negativa : número de sorteos antes de que se produzca un cierto número de fallos (dibujos con colores incorrectos).
- Problema de ocupación : la distribución del número de urnas ocupados después de la asignación aleatoria de k bolas en n urnas, relacionado con el problema de coleccionista de cupones y cumpleaños problema .
- Urna de Pólya : cada vez que se extrae una bola de un color particular, se reemplaza junto con una bola adicional del mismo color.
- Física estadística : derivación de distribuciones de energía y velocidad.
- La paradoja de Ellsberg .
Observaciones históricas
En Ars Conjectandi (1713), Jacob Bernoulli consideró el problema de determinar, dado un número de guijarros extraídos de una urna, las proporciones de guijarros de diferentes colores dentro de la urna. Este problema se conoció como el problema de la probabilidad inversa y fue un tema de investigación en el siglo XVIII, que atrajo la atención de Abraham de Moivre y Thomas Bayes .
Bernoulli usó la palabra latina urna , que principalmente significa vasija de arcilla, pero también es el término usado en la antigua Roma para una vasija de cualquier tipo para recolectar papeletas o sorteos; la palabra italiana actual para urna sigue siendo urna . La inspiración de Bernoulli puede haber sido loterías , elecciones o juegos de azar que implicaban sacar bolas de un recipiente, y se ha afirmado que las elecciones en la Venecia medieval y renacentista , incluida la del dux , a menudo incluían la elección de los electores por sorteo , utilizando bolas de diferentes colores extraídas de una urna. [3]
Ver también
Referencias
- ^ Dodge, Yadolah (2003) Diccionario de términos estadísticos de Oxford , OUP. ISBN 0-19-850994-4
- ^ a b c d e Modelo de urna: definición simple, ejemplos y aplicaciones: el modelo básico de urna
- ^ Mowbray, Miranda y Gollmann, Dieter. "Elección del dux de Venecia: análisis de un protocolo del siglo XIII" . Consultado el 12 de julio de 2007 .
Otras lecturas
- Johnson, Norman L .; y Kotz, Samuel (1977); Modelos de urnas y su aplicación: un enfoque de la teoría de la probabilidad discreta moderna , Wiley ISBN 0-471-44630-0
- Mahmoud, Hosam M. (2008); Modelos de Urna Pólya , Chapman & Hall / CRC. ISBN 1-4200-5983-1