En geometría, el polígono pequeño más grande para un número n es el polígono de n lados que tiene un diámetro uno (es decir, cada dos de sus puntos están dentro de una unidad de distancia entre sí) y que tiene el área más grande entre todos los diámetros uno n -gones. Una solución no única cuando n = 4 es un cuadrado , y la solución es un polígono regular cuando n es un número impar, pero la solución es irregular en caso contrario.
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Cuadriláteros
Para n = 4, el área de una arbitraria cuadrilátero está dado por la fórmula S = pq sen ( θ ) / 2, donde p y q son los dos diagonales del cuadrilátero y θ es o bien de los ángulos que forman entre sí. A fin de que el diámetro sea como máximo 1, ambos p y q deben a su vez ser como máximo de 1. Por lo tanto, el cuadrilátero tiene un área más grande cuando los tres factores en la fórmula del área se maximizan individual, con p = q = 1 y sin ( θ ) = 1. La condición de que p = q significa que el cuadrilátero es un cuadrilátero equidiagonal (sus diagonales tienen la misma longitud), y la condición de que sin ( θ ) = 1 significa que es un cuadrilátero ortodiagonal (sus diagonales se cruzan a la derecha anglos). Los cuadriláteros de este tipo incluyen el cuadrado con diagonales de longitud unitaria, que tiene un área 1/2. Sin embargo, muchos otros cuadriláteros ortodiagonales y equidiagonales también tienen un diámetro 1 y tienen la misma área que el cuadrado, por lo que en este caso la solución no es única. [1]
Números impares de lados
Para valores impares de n , Karl Reinhardt demostró que un polígono regular tiene el área más grande entre todos los polígonos de diámetro uno. [2]
Incluso números de lados
En el caso de n = 6, el polígono óptimo único no es regular. La solución a este caso fue publicada en 1975 por Ronald Graham , respondiendo a una pregunta planteada en 1956 por Hanfried Lenz ; [3] toma la forma de un pentágono equidiagonal irregular con un triángulo isósceles obtuso unido a uno de sus lados, con la distancia desde el vértice del triángulo hasta el vértice del pentágono opuesto igual a las diagonales del pentágono. [4] Su área es 0.674981 .... (secuencia A111969 en la OEIS ), un número que satisface la ecuación
- 4096 x 10 +8192 x 9 - 3008 x 8 - 30848x 7 + 21056 x 6 + 146496 x 5 - 221360 x 4 + 1232 x 3 + 144464 x 2 - 78488 x + 11993 = 0.
Graham conjeturó que la solución óptima para el caso general de valores pares de n consiste de la misma manera en un equidiagonal ( n - 1) -gon con un triángulo isósceles unido a uno de sus lados, su vértice a una distancia unitaria del opuesto ( n - 1) vértice -gon. En el caso n = 8, esto fue verificado mediante un cálculo informático de Audet et al. [5] La prueba de Graham de que su hexágono es óptimo, y la prueba informática del caso n = 8, involucraron un análisis de caso de todas las posibles cadenas n - vértice con bordes rectos.
La conjetura completa de Graham, que caracteriza la solución al mayor problema de polígono pequeño para todos los valores pares de n , fue probada en 2007 por Foster y Szabo. [6]
Ver también
- Polígono Reinhardt , los polígonos que maximizan el perímetro por su diámetro, maximizan el ancho por su diámetro y maximizan el ancho por su perímetro
Referencias
- ^ Schäffer, JJ (1958), "Nachtrag zu Ungelöste Prob. 12", Elemente der Math. , 13 : 85–86. Como lo cita Graham (1975) .
- ^ Reinhardt, K. (1922), "Extremale Polygone gegebenen Durchmessers" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 31 : 251-270.
- ^ Lenz, H. (1956), "Ungelöste Prob. 12", EIemente der Math. , 11 : 86. Como lo cita Graham (1975) .
- ^ Graham, RL (1975), "El hexágono pequeño más grande" (PDF) , Journal of Combinatorial Theory , Serie A, 18 : 165-170, doi : 10.1016 / 0097-3165 (75) 90004-7.
- ^ Audet, Charles; Hansen, Pierre; Messine, Frédéric; Xiong, Junjie (2002), "El octágono pequeño más grande", Journal of Combinatorial Theory , Serie A, 98 (1): 46–59, doi : 10.1006 / jcta.2001.3225 , MR 1897923.
- ^ Foster, Jim; Szabo, Tamas (2007), "Gráficos de diámetro de polígonos y la prueba de una conjetura de Graham", Journal of Combinatorial Theory , Serie A, 114 (8): 1515-1525, doi : 10.1016 / j.jcta.2007.02.006 , MR 2360684.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. , "Biggest Little Polygon" , MathWorld
- El pequeño hexágono más grande de Graham , del Salón de los Hexágonos