En finanzas , el modelo binomial de fijación de precios de opciones ( BOPM ) proporciona un método numérico generalizable para la valoración de opciones . Esencialmente, el modelo utiliza un modelo de "tiempo discreto" ( basado en celosía ) del precio variable a lo largo del tiempo del instrumento financiero subyacente , abordando casos en los que falta la fórmula de Black-Scholes de forma cerrada .
El modelo binomial fue propuesto por primera vez por William Sharpe en la edición de 1978 de Investments ( ISBN 013504605X ), [1] y formalizado por Cox , Ross y Rubinstein en 1979 [2] y por Rendleman y Bartter en ese mismo año. [3]
Para obtener información sobre los árboles binomiales aplicados a los derivados de tipos de interés y de renta fija , consulte el modelo Lattice (finanzas) § Derivados de tipos de interés .
Uso del modelo
El enfoque del modelo de precios de opciones binomiales se ha utilizado ampliamente ya que puede manejar una variedad de condiciones para las cuales otros modelos no pueden aplicarse fácilmente. Esto se debe en gran parte a que el BOPM se basa en la descripción de un instrumento subyacente durante un período de tiempo en lugar de un solo punto. Como consecuencia, se utiliza para valorar las opciones estadounidenses que se pueden ejercer en cualquier momento en un intervalo dado, así como las opciones de Bermudas que se pueden ejercer en instancias específicas de tiempo. Al ser relativamente simple, el modelo se puede implementar fácilmente en software de computadora (incluida una hoja de cálculo ).
Aunque computacionalmente es más lenta que la fórmula de Black-Scholes , es más precisa, particularmente para opciones a más largo plazo sobre valores con pagos de dividendos . Por estas razones, los profesionales de los mercados de opciones utilizan ampliamente varias versiones del modelo binomial. [ cita requerida ]
Para opciones con varias fuentes de incertidumbre (por ejemplo, opciones reales ) y para opciones con características complicadas (por ejemplo, opciones asiáticas ), los métodos binomiales son menos prácticos debido a varias dificultades, y los modelos de opciones de Monte Carlo se utilizan comúnmente en su lugar. Cuando se simula una pequeña cantidad de pasos de tiempo, la simulación de Monte Carlo requerirá más tiempo computacionalmente que BOPM (cf. métodos de Monte Carlo en finanzas ). Sin embargo, el peor tiempo de ejecución de BOPM será O (2 n ) , donde n es el número de pasos de tiempo en la simulación. Las simulaciones de Monte Carlo generalmente tendrán una complejidad de tiempo polinomial y serán más rápidas para un gran número de pasos de simulación. Las simulaciones de Monte Carlo también son menos susceptibles a errores de muestreo, ya que las técnicas binomiales utilizan unidades de tiempo discretas. Esto se vuelve más cierto cuanto más pequeñas se vuelven las unidades discretas.
Método
función americanPut (T, S, K, r, sigma, q, n){ 'T ... tiempo de expiración 'S ... precio de las acciones 'K ... precio de ejercicio 'q ... rendimiento por dividendo 'n ... altura del árbol binomial deltaT: = T / n; arriba: = exp (sigma * sqrt (deltaT)); p0: = (arriba * exp (-q * deltaT) - exp (-r * deltaT)) / (arriba ^ 2 - 1); p1: = exp (-r * deltaT) - p0; «Valores iniciales en el momento t para i: = 0 a n { p [i]: = K - S * arriba ^ (2 * i - n); si p [i] <0 entonces p [i]: = 0; } 'muévete a tiempos anteriores para j: = n-1 hacia abajo a 0 { para i: = 0 a j { ' valor binomial p [i]: = p0 * p [i + 1] + p1 * p [i]; 'valor de ejercicio ejercicio: = K - S * arriba ^ (2 * i - j); si p [i] |
El modelo de precios binomial rastrea la evolución de las variables subyacentes clave de la opción en tiempo discreto. Esto se realiza mediante una celosía binomial (Árbol), durante una serie de pasos de tiempo entre las fechas de valoración y vencimiento. Cada nodo del enrejado representa un posible precio del subyacente en un momento dado.
La valoración se realiza de forma iterativa, comenzando en cada uno de los nodos finales (los que se pueden alcanzar en el momento de la expiración), y luego avanzando hacia atrás a través del árbol hasta el primer nodo (fecha de valoración). El valor calculado en cada etapa es el valor de la opción en ese momento.
La valoración de opciones que utiliza este método es, como se describe, un proceso de tres pasos:
- Generación de árbol de precios,
- Cálculo del valor de la opción en cada nodo final,
- Cálculo secuencial del valor de la opción en cada nodo anterior.
Paso 1: Cree el árbol de precios binomial
El árbol de precios se produce avanzando desde la fecha de valoración hasta el vencimiento.
En cada paso, se supone que el instrumento subyacente se moverá hacia arriba o hacia abajo por un factor específico ( o ) por paso del árbol (donde, por definición, y ). Así que si es el precio actual, entonces en el próximo período el precio será o .
Los factores al alza y a la baja se calculan utilizando la volatilidad subyacente ,y el tiempo de duración de un paso, , medido en años (utilizando la convención de recuento de días del instrumento subyacente). De la condición de que la varianza del logaritmo del precio sea, tenemos:
Arriba está el método original de Cox, Ross y Rubinstein (CRR); Hay varias otras técnicas para generar el enrejado, como el árbol de "probabilidades iguales", ver. [4] [5]
El método CRR asegura que el árbol sea recombinante, es decir, si el activo subyacente se mueve hacia arriba y luego hacia abajo (u, d), el precio será el mismo que si se hubiera movido hacia abajo y luego hacia arriba (d, u). los caminos se fusionan o recombinan. Esta propiedad reduce el número de nodos del árbol y, por lo tanto, acelera el cálculo del precio de la opción.
Esta propiedad también permite que el valor del activo subyacente en cada nodo se calcule directamente a través de una fórmula y no requiere que el árbol se construya primero. El valor del nodo será:
Dónde es el número de tics ascendentes y es el número de tics descendentes.
Paso 2: busque el valor de la opción en cada nodo final
En cada nodo final del árbol, es decir, al vencimiento de la opción, el valor de la opción es simplemente su valor intrínseco o de ejercicio:
- Máx. [( S n - K ), 0] , para una opción de compra
- Max [( K - S n ), 0] , para una opción de venta ,
Donde K es el precio de ejercicio yes el precio de contado del activo subyacente en el n º período.
Paso 3: busque el valor de la opción en los nodos anteriores
Una vez que se completa el paso anterior, se encuentra el valor de la opción para cada nodo, comenzando en el penúltimo paso de tiempo y volviendo al primer nodo del árbol (la fecha de valoración) donde el resultado calculado es el valor de la opción.
En resumen: el "valor binomial" se encuentra en cada nodo, utilizando el supuesto de neutralidad de riesgo ; consulte Valoración neutral al riesgo . Si se permite el ejercicio en el nodo, entonces el modelo toma el valor mayor de binomio y ejercicio en el nodo.
Los pasos son los siguientes:
- Bajo el supuesto de neutralidad de riesgo, el precio justo de hoy de un derivado es igual al valor esperado de su pago futuro descontado por la tasa libre de riesgo . Por lo tanto, el valor esperado se calcula utilizando los valores de opción de los dos nodos posteriores ( Opción hacia arriba y Opción hacia abajo ) ponderados por sus respectivas probabilidades: "probabilidad" p de un movimiento hacia arriba en el subyacente y "probabilidad" (1 − p) de un movimiento hacia abajo. Luego , el valor esperado se descuenta a r , la tasa libre de riesgo correspondiente a la vida de la opción.
- La siguiente fórmula para calcular el valor esperado se aplica en cada nodo:
- , o
- dónde
- es el valor de la opción para nodo en el tiempo t ,
- se elige de manera que la distribución binomial relacionada simule el movimiento browniano geométrico del stock subyacente con los parámetros r y σ ,
- q es la rentabilidad por dividendo del subyacente correspondiente a la vida de la opción. De ello se desprende que en un mundo de riesgo neutral, el precio de futuros debería tener una tasa de crecimiento esperada de cero y, por lo tanto, podemos considerar para futuros.
- Tenga en cuenta que para que p esté en el intervalo la siguiente condición en tiene que estar satisfecho .
- (Tenga en cuenta que el enfoque de valoración alternativo, la fijación de precios sin arbitraje , produce resultados idénticos; consulte " cobertura delta ").
- Este resultado es el "Valor binomial". Representa el precio justo del derivado en un momento determinado (es decir, en cada nodo), dada la evolución del precio del subyacente hasta ese punto. Es el valor de la opción si se mantuviera, en contraposición al ejercicio en ese momento.
- Dependiendo del estilo de la opción, evalúe la posibilidad de ejercicio temprano en cada nodo: si (1) la opción puede ejercerse y (2) el valor de ejercicio excede el Valor Binomial, entonces (3) el valor en el nodo es el valor del ejercicio.
- Para una opción europea , no existe la opción de ejercicio temprano y el valor binomial se aplica a todos los nodos.
- Para una opción estadounidense , dado que la opción puede mantenerse o ejercerse antes del vencimiento, el valor en cada nodo es: Máx. (Valor binomial, Valor de ejercicio).
- Para una opción de Bermudan , el valor en los nodos donde se permite el ejercicio temprano es: Max (valor binomial, valor de ejercicio); en los nodos donde no se permite el ejercicio temprano, solo se aplica el valor binomial.
Al calcular el valor en el siguiente paso de tiempo calculado, es decir, un paso más cerca de la valoración, el modelo debe usar el valor seleccionado aquí, para "Opción arriba" / "Opción abajo" según corresponda, en la fórmula del nodo. El algoritmo aparte demuestra el enfoque que calcula el precio de una opción de venta estadounidense, aunque se generaliza fácilmente para las opciones de compra y para las opciones europeas y bermudas:
Relación con Black-Scholes
Supuestos similares sustentan tanto el modelo binomial como el modelo Black-Scholes , y el modelo binomial, por lo tanto, proporciona una aproximación temporal discreta al proceso continuo subyacente al modelo Black-Scholes. El modelo binomial supone que los movimientos del precio siguen una distribución binomial ; para muchos ensayos, esta distribución binomial se aproxima a la distribución logarítmica normal asumida por Black-Scholes. Entonces, en este caso, para las opciones europeas sin dividendos, el valor del modelo binomial converge con el valor de la fórmula de Black-Scholes a medida que aumenta el número de pasos de tiempo. [4] [5]
Además, cuando se analiza como un procedimiento numérico, el método binomial CRR puede verse como un caso especial del método explícito de diferencias finitas para el PDE de Black-Scholes ; consulte los métodos de diferencias finitas para el precio de las opciones . [ cita requerida ]
Ver también
- Árbol trinomial , un modelo similar con tres posibles caminos por nodo.
- Árbol (estructura de datos)
- Modelo de celosía (finanzas) , para una discusión más general y aplicación a otros subyacentes
- Black-Scholes : las celosías binomiales pueden manejar una variedad de condiciones para las que no se puede aplicar Black-Scholes.
- Modelo de opciones de Monte Carlo , utilizado en la valoración de opciones con características complicadas que dificultan su valoración a través de otros métodos.
- Análisis de opciones reales , donde el BOPM es ampliamente utilizado.
- Finanzas cuánticas, modelo de precios binomial cuántico.
- Finanzas matemáticas , que tiene una lista de artículos relacionados.
- Opción sobre acciones para empleados § Valoración , donde el BOPM es ampliamente utilizado.
- Árbol binomial implícito
- Árbol binomial de Edgeworth
Referencias
- ^ William F. Sharpe, biográfico , nobelprize.org
- ^ Cox, JC ; Ross, SA ; Rubinstein, M. (1979). "Precio de las opciones: un enfoque simplificado". Revista de Economía Financiera . 7 (3): 229. CiteSeerX 10.1.1.379.7582 . doi : 10.1016 / 0304-405X (79) 90015-1 .
- ^ Richard J. Rendleman, Jr. y Brit J. Bartter. 1979. "Fijación de precios de opciones de dos estados". Revista de Finanzas 24: 1093-1110. doi : 10.2307 / 2327237
- ^ a b Mark s. Joshi (2008). La convergencia de árboles binomiales para fijar el precio del put estadounidense
- ^ a b Chance, Don M. Marzo de 2008 Una síntesis de modelos de fijación de precios de opciones binomiales para activos distribuidos logarítmicamente. Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine . Revista de finanzas aplicadas, vol. 18
enlaces externos
- El modelo binomial para las opciones de precios , Prof. Thayer Watkins
- Precios de opciones binomiales ( PDF ), Prof. Robert M. Conroy
- Modelo de fijación de precios de opciones binomiales de Fiona Maclachlan, The Wolfram Demonstrations Project
- Sobre la irrelevancia de los rendimientos esperados de las acciones en el precio de las opciones en el modelo binomial: una nota pedagógica de Valeri Zakamouline
- Una derivación simple de la probabilidad neutral al riesgo en el modelo binomial de fijación de precios de opciones por Greg Orosi