En finanzas , un modelo de celosía [1] es una técnica aplicada a la valoración de derivados , donde se requiere un modelo de tiempo discreto . Para las opciones sobre acciones , un ejemplo típico sería el precio de una opción estadounidense , donde se requiere una decisión sobre el ejercicio de la opción en "todo" momento (en cualquier momento) antes del vencimiento inclusive. Un modelo continuo, en cambio, como Black-Scholes , solo permitiría la valoración de opciones europeas , donde el ejercicio es en la fecha de vencimiento de la opción . Para derivados de tipos de interésLas celosías son además útiles porque abordan muchos de los problemas que se encuentran con los modelos continuos, como el pull to par . [2] El método también se utiliza para valorar ciertas opciones exóticas , donde debido a la dependencia de la ruta en el pago, los métodos de Monte Carlo para la fijación de precios de opciones no toman en cuenta las decisiones óptimas para terminar el derivado por ejercicio temprano, [3] aunque ahora existen métodos para resolver este problema .
Derivados de acciones y materias primas
Valoración de opciones de renta variable basada en árboles: 1. Construya el árbol de precios de las acciones:
2. Construya el árbol de opciones correspondiente:
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En general, el enfoque es dividir el tiempo entre ahora y el vencimiento de la opción en N períodos discretos. En el momento específico n , el modelo tiene un número finito de resultados en el momento n + 1, de modo que cada posible cambio en el estado del mundo entre n y n + 1 se captura en una rama. Este proceso se repite hasta que se mapean todas las rutas posibles entre n = 0 y n = N. Las probabilidades se calcularon entonces para cada n a n + 1 trayecto. Los resultados y las probabilidades fluyen hacia atrás a través del árbol hasta que se calcula un valor razonable de la opción hoy.
Para acciones y materias primas, la aplicación es la siguiente. El primer paso es rastrear la evolución de las variables subyacentes clave de la opción, comenzando con el precio al contado de hoy , de manera que este proceso sea consistente con su volatilidad; Generalmente se asume un movimiento browniano log-normal con volatilidad constante. [4] El siguiente paso es valorar la opción de forma recursiva: retrocediendo desde el último paso de tiempo, donde tenemos valor de ejercicio en cada nodo; y aplicar una valoración neutral al riesgo en cada nodo anterior, donde el valor de la opción es el valor presente ponderado por la probabilidad de los nodos ascendentes y descendentes en el intervalo de tiempo posterior. Ver modelo de precios de opciones binomiales § Método para obtener más detalles, así como precios racionales § Valoración neutral al riesgo para la derivación lógica y de fórmulas.
Como se indicó anteriormente, el enfoque de celosía es particularmente útil en la valoración de opciones estadounidenses , donde la elección de ejercitar la opción anticipadamente o mantener la opción puede modelarse en cada combinación discreta de tiempo / precio; esto también es cierto para las opciones de Bermudas . Por razones similares, las opciones reales y las opciones sobre acciones de los empleados a menudo se modelan utilizando un marco de celosía, aunque con supuestos modificados. En cada uno de estos casos, un tercer paso es determinar si la opción se va a ejercer o mantener, y luego aplicar este valor en el nodo en cuestión. Algunas opciones exóticas , como las opciones de barrera , también se modelan fácilmente aquí; para otras opciones dependientes de la ruta , se preferiría la simulación . (Aunque se han desarrollado métodos basados en árboles. [5] [6] )
El modelo de celosía más simple es el modelo de precios de opciones binomiales ; [7] el método estándar ("canónico" [8] ) es el propuesto por Cox , Ross y Rubinstein (CRR) en 1979; ver diagrama para fórmulas. Se han desarrollado más de 20 métodos [9], cada uno de los cuales "se deriva de una variedad de supuestos" en lo que respecta a la evolución del precio del subyacente. [4] En el límite , a medida que aumenta el número de pasos de tiempo, estos convergen a la distribución logarítmica normal y, por lo tanto, producen el "mismo" precio de opción que Black-Scholes: para lograr esto, estos buscarán estar de acuerdo con del subyacente momentos centrales , momentos primas y / o de registro-momentos en cada paso de tiempo, tal como se mide de forma discreta . Las mejoras adicionales están diseñadas para lograr estabilidad en relación con Black-Scholes a medida que cambia el número de pasos de tiempo. Los modelos más recientes, de hecho, están diseñados en torno a la convergencia directa con Black-Scholes. [9]
Una variante del binomio es el árbol Trinomial , [10] [11] desarrollado por Phelim Boyle en 1986. Aquí, el precio de la acción puede permanecer sin cambios durante el intervalo de tiempo, y la valoración de la opción se basa en el valor de la acción. en los nodos ascendente, descendente y medio en el último paso de tiempo. En cuanto al binomio, existe una gama de métodos similar (aunque menor). Se considera que el modelo trinomial [12] produce resultados más precisos que el modelo binomial cuando se modelan menos pasos de tiempo y, por lo tanto, se utiliza cuando la velocidad de cálculo o los recursos pueden ser un problema. Para las opciones de vainilla , a medida que aumenta el número de pasos, los resultados convergen rápidamente y, por lo tanto, se prefiere el modelo binomial debido a su implementación más simple. Para opciones exóticas, el modelo trinomial (o adaptaciones) es a veces más estable y preciso, independientemente del tamaño del paso.
Varios de los griegos se pueden estimar directamente en la celosía, donde las sensibilidades se calculan utilizando diferencias finitas . [13] Delta y gamma , que son sensibilidades del valor de la opción con respecto al precio, se aproximan dadas las diferencias entre los precios de las opciones, con su correspondiente spot, en el mismo intervalo de tiempo. Theta , sensibilidad al tiempo, también se estima dado el precio de la opción en el primer nodo del árbol y el precio de la opción para el mismo lugar en un paso de tiempo posterior. (Segundo paso de tiempo para trinomio, tercero para binomio. Dependiendo del método, si el "factor hacia abajo" no es el inverso del "factor hacia arriba", este método no será preciso). Para rho , sensibilidad a las tasas de interés y vega , sensibilidad a la volatilidad de entrada, la medición es indirecta, ya que el valor debe calcularse por segunda vez en una nueva celosía construida con estas entradas ligeramente modificadas, y la sensibilidad aquí también se devuelve a través de una diferencia finita. Consulte también Fugit , el tiempo estimado para hacer ejercicio, que generalmente se calcula mediante un enrejado.
Cuando es importante incorporar la sonrisa de volatilidad , o la superficie , se pueden construir árboles implícitos . Aquí, el árbol se resuelve de manera que reproduzca con éxito los precios de mercado seleccionados (todos), a través de varias huelgas y vencimientos. Por tanto, estos árboles "garantizan que todas las opciones estándar europeas (con huelgas y vencimientos coincidentes con los nodos del árbol) tendrán valores teóricos que coincidan con sus precios de mercado". [14] Utilizando la red calibrada, se pueden entonces fijar precios de opciones con combinaciones de ejercicio / vencimiento no cotizadas en el mercado, de manera que estos precios sean consistentes con los patrones de volatilidad observados. Existen tanto árboles binomiales implícitos , a menudo Rubinstein IBT (R-IBT), [15] como árboles trinomiales implícitos , a menudo Derman- Kani- Chriss [14] (DKC; reemplazando al DK-IBT [16] ). El primero es más fácil de construir, pero es consistente con una sola madurez; este último será coherente con los precios conocidos (o interpolados ) en todos los pasos de tiempo y nodos , pero al mismo tiempo los requerirá . (DKC es efectivamente un modelo de volatilidad local discretizado ).
En cuanto a la construcción, para un R-IBT el primer paso es recuperar las "Probabilidades neutrales al riesgo final implícitas" de los precios spot. Luego, asumiendo que todas las rutas que conducen al mismo nodo final tienen la misma probabilidad neutral al riesgo, se adjunta una "probabilidad de ruta" a cada nodo final. A partir de entonces, "es tan simple como Uno-Dos-Tres", y una recursividad hacia atrás de tres pasos permite recuperar las probabilidades del nodo para cada paso de tiempo. La valoración de la opción procede entonces como estándar, sustituyéndolas por p . Para DKC, el primer paso es recuperar los precios estatales correspondientes a cada nodo del árbol, de manera que sean consistentes con los precios de opción observados (es decir, con la superficie de volatilidad). A partir de entonces, las probabilidades ascendente, descendente y media se encuentran para cada nodo de manera que: estas suman 1; los precios al contado adyacentes evolucionan gradualmente al riesgo de manera neutral, incorporando el rendimiento de los dividendos ; los precios estatales también "crecen" a la tasa libre de riesgo. [17] (La solución aquí es iterativa por paso de tiempo en lugar de simultánea). En cuanto a las R-IBT, la valoración de las opciones se realiza mediante la recursividad estándar hacia atrás.
Como alternativa, los árboles binomiales de Edgeworth [18] permiten un sesgo y una curtosis especificados por el analista en los rendimientos de los precios al contado; consulte la serie Edgeworth . Este enfoque es útil cuando el comportamiento del subyacente se aparta (notablemente) de la normalidad. Un uso relacionado es calibrar el árbol a la sonrisa de volatilidad (o superficie), mediante una "elección juiciosa" [19] de valores de parámetros; con un precio aquí, las opciones con diferentes strikes devolverán diferentes volatilidades implícitas. Para fijar el precio de las opciones estadounidenses, se puede combinar una distribución final generada por Edgeworth con un R-IBT. Este enfoque se limita al conjunto de pares de asimetría y curtosis para los que se dispone de distribuciones válidas. Los árboles binomiales de Johnson más recientes [20] utilizan la "familia" de distribuciones de Johnson , ya que es capaz de acomodar todos los pares posibles.
Para múltiples subyacentes , se pueden construir celosías multinomiales [21] , aunque el número de nodos aumenta exponencialmente con el número de subyacentes. Como alternativa, las opciones de la canasta , por ejemplo, se pueden tasar utilizando una "distribución aproximada" [22] a través de un árbol de Edgeworth (o Johnson).
Derivados de tipos de interés
Valoración de opciones de bonos basados en árboles: 0. Construya un árbol de tasas de interés que, como se describe en el texto, será consistente con la estructura temporal actual de las tasas de interés. 1. Construya un árbol correspondiente de precios de bonos, donde el bono subyacente se valora en cada nodo por "inducción hacia atrás":
2. Construya un árbol de opciones de bonos correspondiente, donde la opción sobre el bono se valora de manera similar:
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Las celosías se utilizan comúnmente en la valoración de opciones de bonos , Swaptions y otros derivados de tipos de interés [23] [24] En estos casos, la valoración es en gran medida como la anterior, pero requiere un paso adicional, cero, para construir un árbol de tipos de interés, en el que el entonces se basa el precio del subyacente. El siguiente paso también es diferente: el precio subyacente aquí se construye mediante "inducción hacia atrás", es decir, fluye hacia atrás desde el vencimiento, acumulando el valor presente de los flujos de efectivo programados en cada nodo, en lugar de fluir hacia adelante desde la fecha de valoración como se indicó anteriormente. El paso final, la valoración de la opción, procede como estándar. Vea a un lado.
El entramado inicial se construye mediante la discretización de un modelo de tasa corta , como Hull-White o Black Derman Toy , o un modelo basado en tasas futuras, como el modelo de mercado LIBOR o HJM . En cuanto a la equidad, también se pueden emplear árboles trinomiales para estos modelos; [25] Este suele ser el caso de los árboles Hull-White.
Bajo HJM, [26] la condición de no arbitraje implica que existe una medida de probabilidad martingala , así como una restricción correspondiente en los "coeficientes de deriva" de las tasas de cambio a plazo. Éstos, a su vez, son funciones de la volatilidad (es) de los tipos a plazo. [27] Una expresión discretizada "simple" [28] para la deriva permite entonces que las tasas de avance se expresen en una red binomial. Para estos modelos basados en tasas a plazo, dependiendo de los supuestos de volatilidad, es posible que la red no se vuelva a combinar. [29] [26] (Esto significa que un "movimiento hacia arriba" seguido de un "movimiento hacia abajo" no dará el mismo resultado que un "movimiento hacia abajo" seguido de un "movimiento hacia arriba"). En este caso , el Lattice a veces se denomina "arbusto", y el número de nodos crece exponencialmente en función del número de pasos de tiempo. También está disponible una metodología de árbol binomial recombinante para el modelo de mercado Libor. [30]
En lo que respecta a los modelos de tipo corto, estos, a su vez, se categorizan mejor: se basarán en el equilibrio ( Vasicek y CIR ) o estarán libres de arbitraje ( Ho-Lee y posteriores ). Esta distinción: para los modelos basados en el equilibrio, la curva de rendimiento es un resultado del modelo, mientras que para los modelos libres de arbitraje, la curva de rendimiento es un insumo del modelo. [31] En el primer caso, el enfoque consiste en "calibrar" los parámetros del modelo, de modo que los precios de los bonos producidos por el modelo, en su forma continua, se ajusten mejor a los precios de mercado observados. [32] El árbol se construye luego en función de estos parámetros. En el último caso, la calibración se realiza directamente en la red: el ajuste es tanto para la estructura temporal actual de las tasas de interés (es decir, la curva de rendimiento ) como para la estructura de volatilidad correspondiente . Aquí, calibración significa que el árbol de tasas de interés reproduce los precios de los bonos cupón cero —y cualquier otro valor sensible a las tasas de interés— que se utilizan para construir la curva de rendimiento ; observe el paralelo con los árboles implícitos para la equidad arriba y compare Bootstrapping (finanzas) . Para los modelos que asumen una distribución normal (como Ho-Lee), la calibración se puede realizar analíticamente, mientras que para los modelos logarítmicos normales la calibración se realiza mediante un algoritmo de búsqueda de raíces ; consulte la descripción en recuadro en el modelo Black-Derman-Toy .
La estructura de volatilidad, es decir, el espaciado de nodos vertical, aquí refleja la volatilidad de las tasas durante el trimestre, u otro período, correspondiente al intervalo de tiempo de la red. (Algunos analistas utilizan la " volatilidad realizada ", es decir, de las tasas aplicables históricamente para el intervalo de tiempo; para ser coherentes con el mercado, los analistas generalmente prefieren utilizar los precios máximos de las tasas de interés actuales y la volatilidad implícita para los precios Black-76 de cada componente caplet ; ver límite de la tasa de interés § volatilidades implícitas ) Dado este vínculo funcional a la volatilidad, nota ahora la resultante. diferencia en la construcción con respecto a los árboles de capital implícita: las tasas de interés, la volatilidad es conocida por cada paso de tiempo, y el los valores de nodo (es decir, las tasas de interés) deben resolverse para probabilidades neutrales al riesgo especificadas; para la equidad, por otro lado, no se puede especificar una sola volatilidad por paso de tiempo, es decir, tenemos una "sonrisa", y el árbol se construye resolviendo las probabilidades correspondientes a valores especificados del subyacente en cada nodo.
Una vez calibrada, la red de tipos de interés se utiliza en la valoración de varios de los instrumentos de renta fija y derivados. [26] El enfoque para las opciones de bonos se describe a un lado; tenga en cuenta que este enfoque aborda el problema de la atracción a la par experimentado bajo enfoques de forma cerrada; ver modelo Black-Scholes § Valoración de opciones de bonos . Para los intercambios , la lógica es casi idéntica, sustituyendo los intercambios por bonos en el paso 1, y los intercambios por opciones de bonos en el paso 2. Para los límites máximos (y mínimos), los pasos 1 y 2 se combinan: en cada nodo, el valor se basa en los nodos relevantes en el último paso, más, para cualquier comprimido que vence en el paso de tiempo, la diferencia entre su tasa de referencia y la tasa corta en el nodo (y que refleja la fracción de recuento de días correspondiente y el valor teórico intercambiado). Para callable- y bonos sujetos a opciones sería necesario un tercer paso: en cada nodo en el paso de tiempo incorporar el efecto de la opción implícita en el precio del bono y / o el precio de la opción allí antes de escalonamiento hacia atrás un paso de tiempo. (Y teniendo en cuenta que estas opciones no son mutuamente excluyentes, por lo que un bono puede tener varias opciones implícitas; [33] los valores híbridos se tratan a continuación). Para otros derivados de tipos de interés más exóticos , se realizan ajustes similares en los pasos 1 y siguientes. Para los "griegos", consulte la sección siguiente.
Un enfoque alternativo a las opciones de bonos de modelado (American), en particular los golpeado en rendimiento al vencimiento (YTM), emplea modificado métodos de capital-celosía. [34] Aquí el analista construye un árbol CRR de YTM, aplicando un supuesto de volatilidad constante, y luego calcula el precio del bono en función de este rendimiento en cada nodo; los precios aquí están tirando a la par. El segundo paso es incorporar cualquier estructura temporal de volatilidad mediante la construcción de un árbol DKC correspondiente (basado en cada segundo paso de tiempo en el árbol CRR: ya que DKC es trinomial mientras que CRR es binomial) y luego usándolo para la valoración de opciones.
Desde la crisis financiera mundial de 2007-2012 , los precios de los swap están (generalmente) bajo un " marco de múltiples curvas ", mientras que anteriormente estaban fuera de una única curva de "autodescuento"; ver Swap de tipos de interés § Valoración y fijación de precios . Aquí, los pagos se establecen en función de la LIBOR específica para el plazo en cuestión, mientras que el descuento se realiza a la tasa OIS . Para acomodar esto en el marco reticular, la tasa OIS y la tasa LIBOR relevante se modelan conjuntamente en un árbol tridimensional, construido de manera que las tasas swap de LIBOR coincidan. [35] Con el paso cero así logrado, la valoración procederá en gran medida como antes, utilizando los pasos 1 en adelante, pero aquí con flujos de caja basados en la "dimensión" LIBOR, y descontando utilizando los nodos correspondientes de la "dimensión" OIS.
Valores híbridos
Los valores híbridos , que incorporan características similares a las de las acciones y los bonos, también se valoran utilizando árboles. [36] Para los bonos convertibles (BC), el enfoque de Tsiveriotis y Fernandes (1998) [37] es dividir el valor del bono en cada nodo en un componente de "capital", que surge de situaciones en las que el BC se convertirá, y un componente de "deuda", que surge de situaciones en las que se reembolsa el BC. En consecuencia, se construyen árboles gemelos donde el descuento se realiza a la tasa libre de riesgo y ajustada al riesgo de crédito, respectivamente, siendo la suma el valor del BC. [38] Hay otros métodos que combinan de manera similar un árbol de tipo de acciones con un árbol de tipo corto. [39] Un enfoque alternativo, publicado originalmente por Goldman Sachs (1994), [40] no desacopla los componentes, sino que el descuento se realiza a una tasa de interés libre de riesgo y de riesgo ponderada por la probabilidad de conversión dentro de un solo árbol. Véase Bono convertible § Valoración , Bono convertible contingente .
De manera más general, el capital social puede verse como una opción de compra de la empresa: [41] cuando el valor de la empresa es menor que el valor de la deuda pendiente que los accionistas optarían por no reembolsar la deuda de la empresa; elegirían reembolsar, y no liquidar (es decir, ejercer su opción ), de otra manera. Los modelos de celosía se han desarrollado aquí para el análisis de la equidad, [42] [43] particularmente en lo que se refiere a las empresas en dificultades . [44] Asimismo, en lo que respecta a la fijación de precios de la deuda empresarial, la relación entre la responsabilidad limitada de los accionistas y los posibles procedimientos del Capítulo 11 también se ha modelado mediante rejilla. [45]
El cálculo de "griegos" para los derivados de tipos de interés procede como para la equidad. Sin embargo, existe un requisito adicional, en particular para los valores híbridos: es decir, estimar las sensibilidades relacionadas con los cambios generales en las tasas de interés. Para un bono con una opción implícita , los cálculos de duración y convexidad basados en el rendimiento estándar al vencimiento no consideran cómo los cambios en las tasas de interés alterarán los flujos de efectivo debido al ejercicio de la opción. Para abordar esto, se introducen la duración efectiva y la convexidad . Aquí, de manera similar a rho y vega anteriores, el árbol de tasas de interés se reconstruye para un cambio paralelo hacia arriba y luego hacia abajo en la curva de rendimiento y estas medidas se calculan numéricamente dados los cambios correspondientes en el valor del bono. [46]
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