Conjunto de bipirámides n- gonales de doble uniforme | |
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Ejemplo de bipirámide hexagonal de doble uniforme | |
Tipo | dual- uniforme en el sentido de poliedro dual- semirregular |
Diagrama de Coxeter | |
Símbolo de Schläfli | {} + { n } [1] |
Caras | 2 n triángulos isósceles congruentes |
Bordes | 3 n |
Vértices | 2 + n |
Configuración de la cara | V4.4. norte |
Grupo de simetría | D n h , [ n , 2], (* n 22), orden 4 n |
Grupo de rotacion | D n , [ n , 2] + , ( n 22), orden 2 n |
Poliedro doble | (convexo) prisma n -gonal uniforme |
Propiedades | vértices regulares , convexos , transitivos a la cara [2] |
Neto | Ejemplo de red bipirámide pentagonal ( n = 5) |
Una bipirámide (simétrica) n -gonal o bipirámide es un poliedro formado al unir una pirámide n -gonal y su imagen especular de base a base. [3] [4] Una bipirámide n -gonal tiene 2 n caras de triángulos , 3 n aristas y 2 + n vértices.
El n -gon al que se hace referencia en el nombre de una bipirámide no es una cara, sino la base del polígono interno, que se encuentra en el plano del espejo que conecta las dos mitades de la pirámide. (Si fuera una cara, entonces cada uno de sus bordes conectaría tres caras en lugar de dos).
"Regular", bipirámides derechas
Una bipirámide "regular" tiene una base poligonal regular . Por lo general, se da a entender que también es una bipirámide derecha .
Una bipirámide derecha tiene sus dos vértices justo encima y justo debajo del centro o centroide de la base de su polígono.
Una bipirámide n -gonal derecha (simétrica) "regular" tiene el símbolo de Schläfli {} + { n }.
Una bipirámide derecha (simétrica) tiene el símbolo de Schläfli {} + P , para la base del polígono P.
El derecho "regular" (por lo tanto cara transitivo ) n bipirámide -gonal con vértices regulares [2] es el doble de la n -gonal uniforme (por lo tanto a la derecha) del prisma , y tiene congruentes triángulo isósceles caras.
Una bipirámide n -gonal derecha (simétrica) "regular" se puede proyectar en una esfera o globo como una bipirámide esférica n -gonal derecha (simétrica) "regular" : n líneas de longitud igualmente espaciadas que van de polo a polo, y un ecuador línea que los divide en dos.
Nombre de la bipirámide | Bipirámide digital | Bipirámide triangular (Ver: J 12 ) | Bipirámide cuadrada (Ver: O ) | Bipirámide pentagonal (Ver: J 13 ) | Bipirámide hexagonal | Bipirámide heptagonal | Bipirámide octagonal | Bipirámide enneagonal | Bipirámide decagonal | ... | Bipirámide apeirogonal |
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Imagen de poliedro | ... | ||||||||||
Imagen de mosaico esférico | Imagen de mosaico plano | ||||||||||
Configuración facial. | V2.4.4 | V3.4.4 | V4.4.4 | V5.4.4 | V6.4.4 | V7.4.4 | V8.4.4 | V9.4.4 | V10.4.4 | ... | V∞.4.4 |
Diagrama de Coxeter | ... |
Bipirámides de triángulo equilátero
Solo tres tipos de bipirámides pueden tener todas las aristas de la misma longitud (lo que implica que todas las caras son triángulos equiláteros y, por lo tanto, la bipirámide es un deltaedro ): las bipirámides triangulares , tetragonales y pentagonales rectas (simétricas) "regulares" . La bipirámide tetragonal o cuadrada con bordes de la misma longitud, u octaedro regular , cuenta entre los sólidos platónicos ; las bipirámides triangulares y pentagonales con bordes de la misma longitud se cuentan entre los sólidos de Johnson (J 12 y J 13 ).
Nombre de bipirámide derecha (simétrico) "regular" | Bipirámide triangular (J 12 ) | Bipirámide tetragonal (octaedro regular) | Bipirámide pentagonal (J 13 ) |
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Imagen bipirámide |
Simetría caleidoscópica
Una bipirámide n -gonal derecha (simétrica) "regular" tiene un grupo de simetría diedro D n h , de orden 4 n , excepto en el caso de un octaedro regular , que tiene el grupo de simetría octaédrica más grande O h , de orden 48, que tiene tres versiones de D 4h como subgrupos. El grupo de rotación es D n , de orden 2 n , excepto en el caso de un octaedro regular, que tiene el grupo de rotación mayor O, de orden 24, que tiene tres versiones de D 4 como subgrupos.
Las 4 n caras triangulares de una bipirámide recta "regular" (simétrica) de 2 n- gonales, proyectadas como las 4 n caras triangulares esféricas de una bipirámide esférica "regular" recta (simétrica) de 2 n- gonales , representan los dominios fundamentales de diedro simetría en tres dimensiones : D n h , [ n , 2], (* n 22), orden 4 n . Estos dominios se pueden mostrar como triángulos esféricos de colores alternativos:
- en un plano de reflexión a través de bordes cocíclicos , los dominios de la imagen especular están en diferentes colores (isometría indirecta);
- sobre un eje de rotación de n pliegues a través de vértices opuestos , un dominio y su imagen están en el mismo color (isometría directa).
Una bipirámide n -gonal (simétrica) puede verse como el Kleetope del diedro n -gonal "correspondiente" .
D n h | D 1h | D 2h | D 3h | D 4h | D 5h | D 6h | ... |
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Imagen de dominios fundamentales | ... |
Volumen
Volumen de una bipirámide (simétrica):
donde B es el área de la base y h la altura desde el plano de la base hasta un vértice.
Esto funciona para cualquier forma de la base y para cualquier ubicación del vértice, siempre que h se mida como la distancia perpendicular desde el plano que contiene la base del polígono interno. Por eso:
Volumen de una bipirámide (simétrica) cuya base es un polígono regular de n lados con una longitud de lado s y cuya altura es h :
Bipirámides oblicuas
Las bipirámides no derechas se denominan bipirámides oblicuas .
Bipirámides cóncavas
Una bipirámide cóncava tiene una base poligonal cóncava .
(*) Su base no tiene un centroide obvio ; si sus vértices no están justo encima / debajo del centro de gravedad de su base, no es una bipirámide derecha . De todos modos, es un octaedro cóncavo.
Bipirámides derechas asimétricas / invertidas
Una bipirámide derecha asimétrica une dos pirámides derechas con bases congruentes pero alturas desiguales, de base a base.
Una bipirámide derecha invertida une dos pirámides derechas con bases congruentes pero alturas desiguales, de base a base, pero en el mismo lado de su base común.
El dual de una bipirámide derecha asimétrica o invertida es un tronco .
Una bipirámide "regular" asimétrica / invertida derecha n -gonal tiene un grupo de simetría C n v , de orden 2 n .
Asimétrico | Invertido |
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Bipirámides de triángulo escaleno
Un " isotoxal " derecho (simétrica) di- n bipirámide -gonal es un derecho (simétrica) 2 n bipirámide -gonal con un isotoxal base de polígono plano: sus 2 n vértices alrededor de los lados son coplanares, pero alternan en dos radios.
Un "isotoxal" derecho (simétrica) di- n -gonal bipirámide tiene n ejes de dos veces de rotación a través de los vértices alrededor de los lados, n planos de reflexión a través de vértices y vértices, un n eje de rotación -fold través de vértices, un plano de reflexión a través de base, y un eje de rotación-reflexión n- pliegues a través de los vértices, [4] que representa el grupo de simetría D n h , [ n , 2], (* 22 n ), de orden 4 n . (La reflexión en el plano base corresponde a la rotación-reflexión de 0 °. Si n es par, hay una simetría alrededor del centro, correspondiente a la rotación-reflexión de 180 °).
Todas sus caras son triángulos escalenos congruentes y es isoédrico . Puede verse como otro tipo de di- "simétrica" derecho n -gonal escalenoedro .
Nota: Para dos alturas de vértice particulares como máximo, las caras de los triángulos pueden ser isoceles.
Ejemplo:
- La bipirámide derecha "isotoxal" (simétrica) "didigonal" (*) con vértices de base:
- U (1; 0; 0), U '(- 1; 0; 0), V (0; 2; 0), V' (0; -2; 0),
- y con ápices:
- A (0; 0; 1), A '(0; 0; -1),
- tiene dos longitudes de borde diferentes:
- ,
- ,
- ;
- por tanto, todas sus caras triangulares son isósceles.
- La bipirámide "didigonal" (*) derecha "isotoxal" (simétrica) con los mismos vértices de base, pero con altura de ápice: 2, también tiene dos longitudes de borde diferentes: , .
En cristalografía , existen bipirámides "isotoxal" derecha (simétrica) "didigonal" (*) (8 caras), ditrigonal (12 caras), ditetragonal (16 caras) y dihexagonal (24 caras). [4] [3]
(*) Los di- geométricas más pequeñas n bipirámides -gonal tienen ocho caras, y son topológicamente idéntica a la octaedro regular . En este caso (2 n = 2 × 2):
una bipirámide "didigonal" derecha "isotoxal" (simétrica) se llama bipirámide rómbica , [4] [3] aunque todas sus caras son triángulos escalenos, porque su base poligonal plana es un rombo.
Scalenohedra
A la derecha "simétrica" "regular" di- n -gonal escalenoedro se puede hacer con un regular de zig-zag skew 2 n de base -gon, dos simétricos vértices derecha arriba y derecha debajo del centro de la base, y el triángulo caras de la conexión de cada borde de la base a cada vértice.
Tiene dos vértices y 2 n vértices alrededor de los lados, 4 n caras y 6 n aristas; es topológicamente idéntica a una bipirámide de 2 n- gonales, pero sus 2 n vértices alrededor de los lados se alternan en dos anillos por encima y por debajo del centro. [3]
A di- "regular" derecho "simétrica" n escalenoedro -gonal tiene n ejes de dos veces de rotación a través de mediados de los bordes alrededor de los lados, n planos de reflexión a través de vértices y vértices, un n eje de rotación -fold través de vértices, y un n -fold eje de rotación-reflexión a través de los vértices, [4] que representa el grupo de simetría D n v = D n d , [2 + , 2 n ], (2 * n ), de orden 4 n . (Si n es impar, hay una simetría alrededor del centro, correspondiente a la rotación-reflexión de 180 °).
Todas sus caras son triángulos escalenos congruentes y es isoédrico . Puede ser visto como otro tipo de bipirámide 2 n- gonal "simétrica" derecha, con una base poligonal oblicua regular en zig-zag .
Nota: Para dos alturas de vértice particulares como máximo, las caras de los triángulos pueden ser isoceles .
En cristalografía , existen escalenoedros "regulares", "simétricos", "didigonales" (8 caras) y ditrigonales (12 caras). [4] [3]
Los escalenoedros geométricos más pequeños tienen ocho caras y son topológicamente idénticos al octaedro regular . En este caso (2 n = 2 × 2):
un escalenoedro "regular" recto "simétrico" "didigonal" se denomina escalenoedro tetragonal ; [4] [3] sus seis vértices se pueden representar como (0,0, ± 1), (± 1,0, z ), (0, ± 1, - z ), donde z es un parámetro entre 0 y 1 ;
en z = 0, es un octaedro regular; en z = 1, es un difenoide con todas las caras coplanares fusionadas (cuatro triángulos isósceles congruentes); para z > 1, se vuelve cóncavo.
z = 0,1 | z = 0,25 | z = 0,5 | z = 0,95 | z = 1,5 |
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Nota: Si la base de 2 n- gones es isotoxal hacia adentro y hacia afuera y sesgada en zig-zag, entonces no todas las caras del triángulo del sólido "simétrico" derecho "isotoxal" son congruentes.
Ejemplo: el sólido con un sesgo en zig-zag isotoxal de entrada-salida con vértices de base de 2 × 2 gon:
U (1; 0; 1), U '(- 1; 0; 1), V (0; 2; -1) , V '(0; -2; -1),
y con vértices simétricos "rectos":
A (0; 0; 3), A' (0; 0; -3),
tiene cinco longitudes de borde diferentes:
- ,
- ,
- ,
- ,
- ;
por tanto, no todas las caras de sus triángulos son congruentes.
Bipirámides en estrella "regulares"
Una bipirámide en estrella o auto-intersecante tiene una base de polígono en estrella .
Se puede hacer una bipirámide en estrella simétrica derecha "regular" con una base de polígono en estrella regular , dos vértices simétricos justo encima y justo debajo del centro de la base y, por lo tanto, caras triangulares simétricas uno a uno que conectan cada borde de la base con cada vértice.
Una bipirámide en estrella de simetría derecha "regular" tiene caras triangulares isósceles congruentes y es isoédrica .
Nota: Para una altura de vértice en particular como máximo, las caras de los triángulos pueden ser equiláteros.
Una bipirámide { p / q } tiene un diagrama de Coxeter .
Base poligonal estrella | 5/2 -gon | 7/2-gon | 7/3-gon | 8/3-gon | 9/2-gon | 9/4-gon |
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Imagen de estrella bipirámide | ||||||
Diagrama de Coxeter |
Base poligonal estrella | 10/3-gon | 11/2-gon | 11/3-gon | 11/4-gon | 11/5-gon | 12/5-gon |
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Imagen de estrella bipirámide | ||||||
Diagrama de Coxeter |
Bipirámides estrella triangular escaleno
Se puede hacer una bipirámide de estrella "isotoxal" simétrica derecha 2 p / q -gonal con una estrella de entrada-salida isotoxal 2 p / q -base de un gón, dos vértices simétricos justo encima y justo debajo del centro de la base, y por lo tanto uno a uno caras de un triángulo simétrico que conectan cada borde de la base con cada vértice.
Una bipirámide en estrella "isotoxal" con simetría derecha 2 p / q -gonal tiene caras de triángulo escaleno congruentes y es isoédrica . Puede ser visto como otro tipo de escalenoedro estrella 2 p / q -gonal derecha "simétrica" .
Nota: Para dos alturas de vértice particulares como máximo, las caras de los triángulos pueden ser isoceles.
Base poligonal estrella | Isotoxal entrada-salida 8/3-gon |
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Imagen de bipirámide de estrella de triángulo escaleno |
Estrella escalenohedra
Se puede hacer un escalenoedro en forma de estrella "regular" derecha "simétrica" 2 p / q -gonal con una estrella oblicua regular en zig-zag 2 p / q -base de un gón, dos vértices simétricos justo encima y justo debajo del centro de la base, y caras triangulares conectando cada borde de la base a cada vértice.
Un escalenoedro estrella "regular" recto "simétrico" 2 p / q -gonal tiene caras triangulares escaleno congruentes y es isoédrico . Puede ser visto como otro tipo de bipirámide en estrella recta "simétrica" 2 p / q -gonal, con una base poligonal de estrella oblicua en zig-zag regular.
Nota: Para dos alturas de vértice particulares como máximo, las caras de los triángulos pueden ser isósceles .
Base poligonal estrella | Desviación regular en zig-zag 8/3-gon |
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Imagen de estrella escalenoedro |
Nota: Si la base del góndo p / q de la estrella 2 es isotoxal dentro-fuera y sesgada en zig-zag, entonces no todas las caras triangulares del poliedro estrella "isotoxal" derecho "simétrico" son congruentes.
Base poligonal estrella | Desviación isotoxal en zig-zag 8/3-gon |
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Imagen de poliedro estrella |
Con vértices base:
U 0 (1; 0; 1), U 1 (0; 1; 1), U 2 (-1; 0; 1), U 3 (0; -1; 1),
V 0 (2 ; 2; -1), V 1 (-2; 2; -1), V 2 (-2; -2; -1), V 3 (2; -2; -1),
y con vértices:
A ( 0; 0; 3), A '(0; 0; -3),
tiene cuatro longitudes de borde diferentes:
- ,
- ,
- ,
- ,
- ;
por tanto, no todas las caras de sus triángulos son congruentes.
4 politopos con células bipirámides
El dual de la rectificación de cada 4-politopos regulares convexos es un 4-politopo transitivo celular con células bipiramidales. A continuación, el vértice del vértice de la bipirámide es A y el vértice del ecuador es E. La distancia entre los vértices adyacentes en el ecuador EE = 1, el vértice del borde del ecuador es AE y la distancia entre los ápices es AA. El 4-politopo bipirámide tendrá vértices V A donde se encuentran los ápices de las bipirámides N A. Se tendrá V E vértices donde los vértices de tipo E de N E bipirámides se encuentran. Las bipirámides N AE se encuentran a lo largo de cada borde de tipo AE. Las bipirámides N EE se encuentran a lo largo de cada borde de tipo EE. C AE es el coseno del ángulo diedro a lo largo de un borde AE. C EE es el coseno del ángulo diedro a lo largo de un borde EE. Como las celdas deben caber alrededor de un borde, N AA cos −1 (C AA ) ≤ 2 π , N AE cos −1 (C AE ) ≤ 2 π .
Propiedades de 4 politopos | Propiedades de la bipirámide | |||||||||||||
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Dual de | Diagrama de Coxeter | Células | V A | V E | N A | N E | N AE | N EE | Célula | Diagrama de Coxeter | Automóvil club británico | AE ** | C AE | C EE |
5 celdas rectificadas | 10 | 5 | 5 | 4 | 6 | 3 | 3 | Bipirámide triangular | 2/3 | 0,667 | - 1/7 | - 1/7 | ||
Tesseract rectificado | 32 | dieciséis | 8 | 4 | 12 | 3 | 4 | Bipirámide triangular | 0,624 | - 2/5 | - 1/5 | |||
24 celdas rectificadas | 96 | 24 | 24 | 8 | 12 | 4 | 3 | Bipirámide triangular | 0,745 | 1/11 | - 5/11 | |||
120 celdas rectificadas | 1200 | 600 | 120 | 4 | 30 | 3 | 5 | Bipirámide triangular | 0,613 | |||||
16 celdas rectificadas | 24 * | 8 | dieciséis | 6 | 6 | 3 | 3 | Bipirámide cuadrada | 1 | - 1/3 | - 1/3 | |||
Nido de abeja cúbico rectificado | ∞ | ∞ | ∞ | 6 | 12 | 3 | 4 | Bipirámide cuadrada | 1 | 0,866 | - 1/2 | 0 | ||
600 celdas rectificadas | 720 | 120 | 600 | 12 | 6 | 3 | 3 | Bipirámide pentagonal | 1,447 |
- * Las 16 celdas rectificadas son las 24 celdas regulares y los vértices son todos equivalentes; los octaedros son bipirámides regulares.
- ** Dado numéricamente debido a una forma más compleja.
Mayores dimensiones
En general, una bipirámide puede verse como un n - politopo construido con un ( n - 1) -politopo en un hiperplano con dos puntos en direcciones opuestas, a la misma distancia perpendicular al hiperplano. Si el politopo ( n - 1) es un politopo regular, tendrá facetas piramidales idénticas . Un ejemplo es el de 16 celdas , que es una bipirámide octaédrica, y más generalmente un n - ortoplex es una bipirámide ( n - 1) -orthoplex.
Una bipirámide bidimensional es un cuadrado .
Ver también
- Trapezoedro
Referencias
Citas
- ^ NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finita , 11.3 Pirámides, prismas y antiprismas, Figura 11.3c
- ^ a b "dualidad" . maths.ac-noumea.nc . Consultado el 5 de noviembre de 2020 .
- ^ a b c d e f "Las 48 formas especiales de cristal" . 18 de septiembre de 2013. Archivado desde el original el 18 de septiembre de 2013 . Consultado el 18 de noviembre de 2020 .
- ^ a b c d e f g "Forma de cristal, zonas, hábito de cristal" . Tulane.edu . Consultado el 16 de septiembre de 2017 .
Referencias generales
- Anthony Pugh (1976). Poliedros: un enfoque visual . California: Universidad de California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Capítulo 4: Duales de los poliedros, prismas y antiprismas de Arquímedes
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Dipyramid" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Isohedron" . MathWorld .
- Los poliedros uniformes
- Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
- Modelos VRML (George Hart) <3> <4> <5> <6> <7> <8> <9> <10>
- Notación de Conway para poliedros Prueba: "dP n ", donde n = 3, 4, 5, 6, ... ejemplo "dP4" es un octaedro.
- Modelos VRML (George Hart) <3> <4> <5> <6> <7> <8> <9> <10>