En geometría , un politopo de dimensión 3 (un poliedro ) o superior es isoédrico o transitivo de caras cuando todas sus caras son iguales. Más específicamente, todas las caras no deben ser simplemente congruentes, sino transitivas , es decir, deben estar dentro de la misma órbita de simetría . En otras palabras, para cualquier caras A y B , tiene que haber una simetría de la totalidad de sólido mediante rotaciones y reflexiones que mapea A a B . Por esta razón, los poliedros isoédricos convexos son las formas que harándados justos . [1]
Los poliedros isoédricos se denominan isoedros . Pueden describirse por la configuración de su cara . Una forma que es isoédrica y tiene vértices regulares también es transitiva por los bordes (isotoxal) y se dice que es un dual cuasirregular : algunos teóricos consideran estas figuras como verdaderamente cuasirregulares porque comparten las mismas simetrías, pero esto no es generalmente aceptado. Un isoedro tiene un número par de caras. [2]
Un poliedro que es isoédrico tiene un poliedro dual que es transitivo de vértice (isogonal). Los sólidos catalanes , las bipirámides y los trapezoedros son todos isoédricos. Son los duales de los sólidos , prismas y antiprismas isogonales de Arquímedes , respectivamente. Los sólidos platónicos , que son auto-duales o duales con otro sólido platónico, son vértice, borde y cara-transitivos (isogonal, isotoxal e isoédrico). Se dice que un poliedro isoédrico e isogonal es noble .
No todos los isozonoedros [3] son isoédricos. [4] Ejemplo: un icosaedro rómbico es un isozonoedro pero no un isoedro. [5]
Ejemplos de
Convexo | Cóncavo | ||
---|---|---|---|
La bipirámide hexagonal , V4.4.6 es un ejemplo no regular de un poliedro isoédrico. | El mosaico pentagonal isoédrico de El Cairo , V3.3.4.3.4 | El panal rombododecaédrico es un ejemplo de un panal de relleno de espacio isoédrico (e isocórico). | Azulejos cuadrados topológicos distorsionados en formas de H en espiral. |
Clases de isoedras por simetría
Caras | Configuración de la cara . | Clase | Nombre | Simetría | Pedido | Convexo | Coplanar | No convexo |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
4 | V3 3 | platónico | tetraedro tetragonal difenoide rómbico difenoide | T d , [3,3], (* 332) D 2d , [2 + , 2], (2 *) D 2 , [2,2] + , (222) | 24 4 4 4 | |||
6 | V3 4 | platónico | cubo trapezoedro trigonal trapezoedro trigonal asimétrico | O h , [4,3], (* 432) D 3d , [2 + , 6] (2 * 3) D 3 [2,3] + , (223) | 48 12 12 6 | |||
8 | V4 3 | platónico | octaedro cuadrado bipirámide rómbico bipirámide cuadrado escalenoedro | O h , [4,3], (* 432) D 4H , [2,4], (* 224) D 2h , [2,2], (* 222) D 2d , [2 + , 4], ( 2 * 2) | 48 16 8 8 | |||
12 | V3 5 | platónico | dodecaedro regular piritoedro tetartoide | Yo h , [5,3], (* 532) T h , [3 + , 4], (3 * 2) T, [3,3] + , (* 332) | 120 24 12 | |||
20 | V5 3 | platónico | icosaedro regular | Yo h , [5,3], (* 532) | 120 | |||
12 | V3.6 2 | catalán | triakis tetraedro | T d , [3,3], (* 332) | 24 | |||
12 | V (3,4) 2 | catalán | dodecaedro rómbico dodecaedro deltoidal | O h , [4,3], (* 432) T d , [3,3], (* 332) | 48 24 | |||
24 | V3.8 2 | catalán | triakis octaedro | O h , [4,3], (* 432) | 48 | |||
24 | V4.6 2 | catalán | tetrakis hexaedro | O h , [4,3], (* 432) | 48 | |||
24 | V3.4 3 | catalán | icositetraedro deltoideo | O h , [4,3], (* 432) | 48 | |||
48 | V4.6.8 | catalán | disdyakis dodecaedro | O h , [4,3], (* 432) | 48 | |||
24 | V3 4 .4 | catalán | icositetraedro pentagonal | O, [4,3] + , (432) | 24 | |||
30 | V (3,5) 2 | catalán | triacontaedro rómbico | Yo h , [5,3], (* 532) | 120 | |||
60 | V3.10 2 | catalán | triakis icosaedro | Yo h , [5,3], (* 532) | 120 | |||
60 | V5.6 2 | catalán | pentakis dodecaedro | Yo h , [5,3], (* 532) | 120 | |||
60 | V3.4.5.4 | catalán | hexcontaedro deltoidal | Yo h , [5,3], (* 532) | 120 | |||
120 | V4.6.10 | catalán | Triacontaedro disdyakis | Yo h , [5,3], (* 532) | 120 | |||
60 | V3 4 .5 | catalán | hexcontaedro pentagonal | Yo, [5,3] + , (532) | 60 | |||
2 n | V3 3 . norte | Polar | trapezoedro asimétrico trapezoedro | D nd , [2 + , 2 n ], (2 * n ) D n , [2, n ] + , (22 n ) | 4 n 2 n | |||
2 n 4 n | V4 2 . n V4 2 .2 n V4 2 .2 n | Polar | regular n - bipirámide isotoxal 2 n -bipirámide 2 n - escalenoedro | D n h , [2, n ], (* 22 n ) D n h , [2, n ], (* 22 n ) D n d , [2 + , 2 n ], (2 * n ) | 4 n |
k -isoédrico figura
Un poliedro (o politopo en general) es k -isoédrico si contiene k caras dentro de su dominio fundamental de simetría. [6]
De manera similar, un mosaico k -isoédrico tiene k órbitas de simetría separadas (y puede contener m caras de diferentes formas para algunos m < k ). [7]
Un poliedro monoédrico o un mosaico monoédrico ( m = 1) tiene caras congruentes, ya sean directas o reflectantes, que ocurren en una o más posiciones de simetría. Un poliedro o mosaico r -édrico tiene r tipos de caras (también llamado diedro, triédrico para 2 o 3 respectivamente). [8]
Aquí hay algunos ejemplos de poliedros y teselados k-isoédricos, con sus caras coloreadas por sus k posiciones de simetría:
3-isoédrico | 4-isoédrico | isoédrico | 2-isoédrico |
---|---|---|---|
(2-hedrales) poliedros de caras regulares | Poliedros monoédricos | ||
El rombicuboctaedro tiene 1 tipo de triángulo y 2 tipos de cuadrados | El pseudorombicuboctaedro tiene 1 tipo de triángulo y 3 tipos de cuadrados. | El icositetraedro deltoideo tiene 1 tipo de cara. | El icositetraedro pseudodeltoideo tiene 2 tipos de caras de forma idéntica. |
2-isoédrico | 4-isoédrico | Isoédrico | 3-isoédrico |
---|---|---|---|
(2-hedral) mosaicos de caras regulares | Azulejos monoédricos | ||
El mosaico pitagórico tiene 2 tamaños de cuadrados. | Este mosaico de 3 uniformes tiene 3 tipos de triángulos de forma idéntica y 1 tipo de cuadrado. | El patrón de espiga tiene 1 tipo de cara rectangular. | Este mosaico pentagonal tiene 3 tipos de caras de pentágono irregular de forma idéntica. |
Términos relacionados
Una figura de celda transitiva o isocórica es un n - politopo ( n > 3) o panal que tiene sus celdas congruentes y transitivas entre sí. En los panales tridimensionales, los panales catóptricos , los duales de los panales uniformes son isocóricos. En 4 dimensiones, los politopos isocóricos se han enumerado hasta 20 células. [9]
Una figura transitiva o isotópica de facetas es un politopos o panal n -dimensional, con sus facetas (( n −1) - caras ) congruentes y transitivas. El dual de un isótopo es un politopo isogonal . Por definición, esta propiedad isotópica es común a los duales de los politopos uniformes .
- Una figura bidimensional isotópica es isotoxal (con borde transitivo).
- Una figura tridimensional isotópica es isoédrica (cara transitiva).
- Una figura isotópica de 4 dimensiones es isocórica (transitiva de células).
Ver también
- Transitivo al borde
- Azulejos anisoédricos
Notas
- ^ McLean, K. Robin (1990), "Mazmorras, dragones y dados", The Mathematical Gazette , 74 (469): 243-256, doi : 10.2307 / 3619822 , JSTOR 3619822.
- ↑ Grünbaum (1960)
- ^ Weisstein, Eric W. "Isozonohedron" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 26 de diciembre de 2019 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Isohedron" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 21 de diciembre de 2019 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Icosaedro rómbico" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 21 de diciembre de 2019 .
- ^ Socolar, Joshua ES (2007). "Baldosas de parquet hexagonales: k -Monotiles isoédricos con k arbitrariamente grande " (PDF corregido) . El inteligente matemático . 29 : 33–38. arXiv : 0708.2663 . doi : 10.1007 / bf02986203 . S2CID 119365079 . Consultado el 9 de septiembre de 2007 .
- ^ Craig S. Kaplan. "Introducción a la teoría del mosaico para gráficos por computadora" . 2009. Capítulo 5 "Azulejos isoédricos". pag. 35.
- ↑ Tilings and Patterns, p.20, 23
- ^ http://www.polytope.net/hedrondude/dice4.htm
Referencias
- Peter R. Cromwell, Polyhedra , Cambridge University Press 1997, ISBN 0-521-55432-2 , pág. 367 Transitividad
enlaces externos
- Olshevsky, George. "Isótopo" . Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
- Weisstein, Eric W. "Mosaico isoédrico" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Isohedron" . MathWorld .
- isoedra 25 clases de isoedra con un número finito de lados
- Diseño de dados en The Dice Lab