5 celdas | 5 celdas truncadas | Bitruncado de 5 celdas | |
Diagramas de Schlegel centrados en [3,3] (celdas en el lado opuesto en [3,3]) |
En geometría , un truncado 5-célula es un uniforme 4-politopo (4-dimensional uniforme politopo ) formado como el truncamiento de la normal 5-célula .
Hay dos grados de truncamientos, incluido un bitruncation .
5 celdas truncadas
5 celdas truncadas | ||
---|---|---|
Diagrama de Schlegel ( células tetraédricas visibles) | ||
Tipo | Politopo uniforme 4 | |
Símbolo de Schläfli | t 0,1 {3,3,3} t {3,3,3} | |
Diagrama de Coxeter | ||
Células | 10 | 5 ( 3.3.3 ) 5 ( 3.6.6 ) |
Caras | 30 | 20 {3} 10 {6} |
Bordes | 40 | |
Vértices | 20 | |
Figura de vértice | Pirámide equilátero-triangular | |
Grupo de simetría | A 4 , [3,3,3], orden 120 | |
Propiedades | convexo , isogonal | |
Índice uniforme | 2 3 4 |
El truncado 5-célula , truncado pentachoron o truncado 4-simplex está delimitada por 10 células : 5 tetraedros , y 5 tetraedro truncado . Cada vértice está rodeado por 3 tetraedros truncados y un tetraedro; la figura del vértice es un tetraedro alargado.
Construcción
El 5-celular truncada puede ser construido a partir de la de las células 5 por truncando sus vértices en un tercio de su longitud de la arista. Esto transforma las 5 células tetraédricas en tetraedros truncados e introduce 5 nuevas células tetraédricas colocadas cerca de los vértices originales.
Estructura
Los tetraedros truncados se unen entre sí en sus caras hexagonales y con los tetraedros en sus caras triangulares.
Visto en una matriz de configuración , se muestran todos los recuentos de incidencia entre elementos. Los números diagonales del vector f se derivan de la construcción de Wythoff , dividiendo el orden de grupo completo de un orden de subgrupo eliminando un espejo a la vez. [1]
A 4 | cara k | f k | f 0 | f 1 | f 2 | f 3 | k -figura | Notas | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
A 2 | () | f 0 | 20 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 1 | {3} v () | A 4 / A 2 = 5! / 3! = 20 | |
A 2 A 1 | {} | f 1 | 2 | 10 | * | 3 | 0 | 3 | 0 | {3} | A 4 / A 2 A 1 = 5! / 3! / 2 = 10 | |
A 1 A 1 | 2 | * | 30 | 1 | 2 | 2 | 1 | {} v () | A 4 / A 1 A 1 = 5! / 2/2 = 30 | |||
A 2 A 1 | t {3} | f 2 | 6 | 3 | 3 | 10 | * | 2 | 0 | {} | A 4 / A 2 A 1 = 5! / 3! / 2 = 10 | |
A 2 | {3} | 3 | 0 | 3 | * | 20 | 1 | 1 | A 4 / A 2 = 5! / 3! = 20 | |||
A 3 | t {3,3} | f 3 | 12 | 6 | 12 | 4 | 4 | 5 | * | () | A 4 / A 3 = 5! / 4! = 5 | |
{3,3} | 4 | 0 | 6 | 0 | 4 | * | 5 |
Proyecciones
La proyección paralela del primer tetraedro de las 5 celdas truncadas en el espacio tridimensional tiene la siguiente estructura:
- La envolvente de proyección es un tetraedro truncado .
- Una de las células tetraédricas truncadas se proyecta sobre toda la envoltura.
- Una de las células tetraédricas se proyecta sobre un tetraedro que se encuentra en el centro de la envoltura.
- Cuatro tetraedros aplanados se unen a las caras triangulares de la envoltura y se conectan al tetraedro central a través de 4 bordes radiales. Estas son las imágenes de las 4 células tetraédricas restantes.
- Entre el tetraedro central y las 4 caras hexagonales de la envoltura hay 4 volúmenes tetraédricos truncados irregulares, que son las imágenes de las 4 células tetraédricas truncadas restantes.
Este diseño de celdas en proyección es análogo al diseño de caras en la proyección de la primera cara del tetraedro truncado en un espacio bidimensional. La celda de 5 truncados es el análogo de 4 dimensiones del tetraedro truncado.
Imagenes
Un avión de Coxeter k | A 4 | A 3 | A 2 |
---|---|---|---|
Grafico | |||
Simetría diedro | [5] | [4] | [3] |
proyección estereográfica
(centrada en tetraedro truncado )
Nombres Alternativos
- Pentatopo truncado
- Truncado 4-simplex
- Pentachoron truncado (Acrónimo: tip) (Jonathan Bowers)
Coordenadas
Las coordenadas cartesianas para los vértices de una celda 5 truncada centrada en el origen que tiene una longitud de borde 2 son:
Más simplemente, los vértices de las 5 celdas truncadas se pueden construir en un hiperplano en el espacio 5 como permutaciones de (0,0,0,1,2) o de (0,1,2,2,2). Estas coordenadas provienen de facetas ortográficas positivas del pentacruzado truncado y el penteracto bitruncado respectivamente.
Politopos relacionados
El casco convexo de las 5 celdas truncadas y su dual (asumiendo que son congruentes) es un policorón no uniforme compuesto de 60 celdas: 10 tetraedros , 20 octaedros (como antiprismas triangulares), 30 tetraedros (como dispenoides tetragonales) y 40 vértices . Su figura de vértice es una cúpula triangular de hexakis .
Figura de vértice
Bitruncado de 5 celdas
Bitruncado de 5 celdas | ||
---|---|---|
Diagrama de Schlegel con celdas alternas ocultas. | ||
Tipo | Politopo uniforme 4 | |
Símbolo de Schläfli | t 1,2 {3,3,3} 2t {3,3,3} | |
Diagrama de Coxeter | o o | |
Células | 10 ( 3.6.6 ) | |
Caras | 40 | 20 {3} 20 {6} |
Bordes | 60 | |
Vértices | 30 | |
Figura de vértice | ( {} v {} ) | |
politopo dual | Disfenoidal de 30 celdas | |
Grupo de simetría | Aut (A 4 ), [[3,3,3]], orden 240 | |
Propiedades | convexo , isogonal , isotoxal , isocórico | |
Índice uniforme | 5 6 7 |
El bitruncado de 5 celdas (también llamado pentachoron bitruncado , decachoron y 10 celdas ) es un politopo de 4 dimensiones , o 4-politopo , compuesto por 10 celdas en forma de tetraedros truncados .
Topológicamente, bajo su simetría más alta, [[3,3,3]], solo hay una forma geométrica, que contiene 10 tetraedros truncados uniformes. Los hexágonos son siempre regulares debido a la simetría de inversión del policorón, de los cuales el hexágono regular es el único caso de este tipo entre los ditrigones (un hexágono isogonal con simetría triple).
EL Elte lo identificó en 1912 como un politopo semirregular.
Cada cara hexagonal del tetraedro truncado está unida en orientación complementaria al tetraedro truncado vecino. Cada borde es compartido por dos hexágonos y un triángulo. Cada vértice está rodeado por 4 células tetraédricas truncadas en una figura de vértice tetragonal difenoide .
El bitruncado de 5 celdas es la intersección de dos pentachoras en configuración dual. Como tal, también es la intersección de un penteracto con el hiperplano que biseca ortogonalmente la diagonal larga del penteracto. En este sentido, es un análogo de 4 dimensiones del octaedro regular (intersección de tetraedros regulares en configuración dual / bisección teseracta en diagonal larga) y el hexágono regular (triángulos equiláteros / cubo). El análogo de 5 dimensiones es el 5-simplex birectificado , y el-Análogo dimensional es el politopo cuyo diagrama de Coxeter-Dynkin es lineal con anillos en el medio uno o dos nodos.
El bitruncado de 5 celdas es uno de los dos 4 politopos uniformes no regulares que son transitivos de celda . El otro es el bitruncado de 24 celdas , que se compone de 48 cubos truncados.
Simetría
Este 4-politopo tiene una simetría pentachórica extendida más alta (2 × A 4 , [[3,3,3]]), duplicada al orden de 240, porque el elemento correspondiente a cualquier elemento de la 5-celda subyacente se puede intercambiar con uno de los correspondientes a un elemento de su dual.
Nombres alternativos
- Bitruncado de 5 celdas ( Norman W. Johnson )
- 10 celdas como 4 politopos transitivos de celdas
- Pentacoron bitruncado
- Pentatopo bitruncado
- Bitruncado 4-simplex
- Decachoron (Acrónimo: deca) (Jonathan Bowers)
Imagenes
Un avión de Coxeter k | A 4 | A 3 | A 2 |
---|---|---|---|
Grafico | |||
Simetría diedro | [[5]] = [10] | [4] | [[3]] = [6] |
Proyección estereográfica de 4 politopos esféricos (centrados en una cara hexagonal) | Red (politopo) |
Coordenadas
Las coordenadas cartesianas de una 5 celdas bitruncadas centradas en el origen con una longitud de borde 2 son:
Coordenadas | |
---|---|
Más simplemente, los vértices de las 5 celdas bitruncadas se pueden construir en un hiperplano en el espacio 5 como permutaciones de (0,0,1,2,2). Éstos representan facetas positivas o negativas de la pentacruza bitruncada . Otra construcción de 5 espacios, centrada en el origen, son las 20 permutaciones de (-1, -1,0,1,1).
Politopos relacionados
El bitruncado de 5 celdas puede verse como la intersección de dos 5 celdas regulares en posiciones duales. = ∩ .
Oscuro. | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
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Nombre Coxeter | Hexágono = t {3} = {6} | Octaedro = r {3,3} = {3 1,1 } = {3,4} | Decachoron 2t {3 3 } | Dodecateron 2r {3 4 } = {3 2,2 } | Tetradecapeton 3t {3 5 } | Hexadecaexón 3r {3 6 } = {3 3,3 } | Octadecazetton 4t {3 7 } |
Imagenes | |||||||
Figura de vértice | () v () | {} × {} | {} v {} | {3} × {3} | {3} v {3} | {3,3} x {3,3} | {3,3} v {3,3} |
Facetas | {3} | t {3,3} | r {3,3,3} | 2t {3,3,3,3} | 2r {3,3,3,3,3} | 3t {3,3,3,3,3,3} | |
Como intersección de doble simplex | ∩ | ∩ | ∩ | ∩ | ∩ | ∩ | ∩ |
Poliedro de sesgo regular relacionado
El poliedro sesgado regular , {6,4 | 3}, existe en 4 espacios con 4 hexagonales alrededor de cada vértice, en una figura de vértice no plana en zigzag. Estas caras hexagonales se pueden ver en el bit truncado de 5 celdas, usando los 60 bordes y 30 vértices. Las 20 caras triangulares de las 5 celdas truncadas se pueden ver como eliminadas. El poliedro oblicuo regular dual, {4,6 | 3}, está relacionado de manera similar con las caras cuadradas de las 5 celdas runcinadas .
Disfenoidal de 30 celdas
Disfenoidal de 30 celdas | ||
---|---|---|
Tipo | perfecto [2] policoron | |
Símbolo | f 1,2 A 4 [2] | |
Coxeter | ||
Células | 30 difenoides tetragonales congruentes | |
Caras | 60 isósceles congruentes (2 bordes cortos) | |
Bordes | 40 | 20 de longitud 20 de longitud |
Vértices | 10 | |
Figura de vértice | ( Triakis tetraedro ) | |
Doble | Bitruncado de 5 celdas | |
Grupo Coxeter | Aut (A 4 ), [[3,3,3]], orden 240 | |
Vector de órbita | (1, 2, 1, 1) | |
Propiedades | convexo , isocórico |
El esfenoidal de 30 celdas es el dual del bit truncado de 5 celdas . Es un politopo (o policoron ) de 4 dimensiones derivado del de 5 celdas . Es el casco convexo de dos 5 celdas en orientaciones opuestas.
Siendo el dual de un policoron uniforme, es transitivo celular , y consta de 30 difenoides tetragonales congruentes . Además, es transitivo de vértice en el grupo Aut (A 4 ).
Politopos relacionados
Estos politopos son de un conjunto de 9 4-politopos uniformes construidos a partir del grupo [3,3,3] Coxeter .
Nombre | 5 celdas | truncado de 5 celdas | rectificado de 5 celdas | 5 celdas canteladas | bitruncado de 5 celdas | 5 celdas cantitruncadas | runcinated de 5 celdas | runcitruncated 5 celdas | omnitruncado de 5 celdas |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Símbolo de Schläfli | {3,3,3} 3r {3,3,3} | t {3,3,3} 2t {3,3,3} | r {3,3,3} 2r {3,3,3} | rr {3,3,3} r2r {3,3,3} | 2t {3,3,3} | tr {3,3,3} t2r {3,3,3} | t 0,3 {3,3,3} | t 0,1,3 {3,3,3} t 0,2,3 {3,3,3} | t 0,1,2,3 {3,3,3} |
Diagrama de Coxeter | |||||||||
Diagrama de Schlegel | |||||||||
Un gráfico de 4 planos de Coxeter | |||||||||
Un gráfico de 3 planos de Coxeter | |||||||||
Un gráfico de 2 planos de Coxeter |
Referencias
- HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3.a edición, Dover Nueva York, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- Coxeter , La belleza de la geometría: Doce ensayos , Publicaciones de Dover, 1999, ISBN 0-486-40919-8 p. 88 (Capítulo 5: Poliedros oblicuos regulares en tres y cuatro dimensiones y sus análogos topológicos, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser.2, Vol 43, 1937.)
- Coxeter, poliedros oblicuos regulares HSM en tres y cuatro dimensiones. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
- Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
- NW Johnson: La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. (1966)
- 1. Policora uniforme convexa basada en el pentacoron - Modelo 3 , George Olshevsky.
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 4D (polychora)" . x3x3o3o - punta, o3x3x3o - deca
- Específico
- ^ Klitzing, Richard. "x3x4o3o - tip" .
- ^ a b Sobre los 4 politopos perfectos Contribuciones de Gabor Gévay al álgebra y la geometría Volumen 43 (2002), núm. 1, 243-259] Tabla 2, página 252
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
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Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | Pentacoron | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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