Espacio de secuencia

En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio secuencial es un espacio vectorial cuyos elementos son secuencias infinitas de números reales o complejos . De manera equivalente, es un espacio de funciones cuyos elementos son funciones de los números naturales al campo K de los números reales o complejos. El conjunto de todas estas funciones se identifica naturalmente con el conjunto de todas las sucesiones infinitas posibles con elementos en K , y puede convertirse en un espacio vectorial mediante las operaciones desuma puntual de funciones y multiplicación escalar puntual. Todos los espacios de secuencia son subespacios lineales de este espacio. Los espacios de secuencia suelen estar equipados con una norma , o al menos con la estructura de un espacio vectorial topológico .

Los espacios de secuencia más importantes en el análisis son los espacios $ℓ p$ , que consisten en secuencias sumables de potencia $p$ , con la norma p . Estos son casos especiales de L ^p espacios para la medida de conteo en el conjunto de números naturales. Otras clases importantes de sucesiones, como las sucesiones convergentes o las sucesiones nulas, forman espacios de sucesiones, denotados c y c ₀ respectivamente , con la norma sup . Cualquier espacio de secuencia también puede equiparse con la topología de convergencia puntual, bajo el cual se convierte en un tipo especial de espacio de Fréchet llamado espacio FK .

Una secuencia en un conjunto es solo un mapa de valor cuyo valor en se denota en lugar de la notación habitual de paréntesis $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ estilo de visualización X}$ ${\ estilo de visualización X}$ $x_{\bullet}:\mathbb {N} \to X$ $n\in \mathbb {N}$ ${\ estilo de visualización x_ {n}}$ ${\ estilo de visualización x (n).}$

Dejemos denotar el campo ya sea de números reales o complejos. El conjunto de todas las secuencias de elementos de es un espacio vectorial para la suma por componentes ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$ $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$

Un espacio de secuencia es cualquier subespacio lineal de $\mathbb {K} ^{\mathbb {N}}.$