En álgebra , la identidad de Brahmagupta dice que, dado que, el producto de dos números de la forma es en sí mismo un número de esa forma. En otras palabras, el conjunto de tales números se cierra mediante multiplicación. Específicamente:
Tanto (1) como (2) se pueden verificar expandiendo cada lado de la ecuación. Además, (2) se puede obtener de (1), o (1) de (2), cambiando b por - b .
Esta identidad se mantiene tanto en el anillo de los números enteros como en el de los números racionales y, de manera más general, en cualquier anillo conmutativo .
Historia
La identidad es una generalización de la llamada identidad de Fibonacci (donde n = 1) que en realidad se encuentra en la Arithmetica de Diofanto (III, 19). Esa identidad fue redescubierta por Brahmagupta (598-668), un matemático y astrónomo indio , quien la generalizó y la utilizó en su estudio de lo que ahora se llama la ecuación de Pell . Su Brahmasphutasiddhanta fue traducido del sánscrito al árabe por Mohammad al-Fazari , y posteriormente fue traducido al latín en 1126. [1] La identidad apareció más tarde en el Libro de los cuadrados de Fibonacci en 1225.
Aplicación a la ecuación de Pell
En su contexto original, Brahmagupta aplicó su descubrimiento a la solución de lo que más tarde se denominó ecuación de Pell , a saber, x 2 - Ny 2 = 1. Usando la identidad en la forma
pudo "componer" triples ( x 1 , y 1 , k 1 ) y ( x 2 , y 2 , k 2 ) que eran soluciones de x 2 - Ny 2 = k , para generar el nuevo triple
Esto no solo dio una forma de generar infinitas soluciones ax 2 - Ny 2 = 1 comenzando con una solución, sino que también, al dividir dicha composición por k 1 k 2 , a menudo se podían obtener soluciones enteras o "casi enteras". . El método general para resolver la ecuación de Pell dado por Bhaskara II en 1150, a saber, el método chakravala (cíclico) , también se basó en esta identidad. [2]
Ver también
Referencias
- ^ George G. Joseph (2000). La cresta del pavo real , pág. 306. Princeton University Press . ISBN 0-691-00659-8 .
- ^ John Stillwell (2002), Matemáticas y su historia (2 ed.), Springer, págs. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6
enlaces externos
- La identidad de Brahmagupta en PlanetMath
- Identidad Brahmagupta en MathWorld
- Una colección de identidades algebraicas