El método chakravala ( sánscrito : चक्रवाल विधि ) es un algoritmo cíclico para resolver ecuaciones cuadráticas indeterminadas , incluida la ecuación de Pell . Se le atribuye comúnmente a Bhāskara II , (c. 1114-1185 EC) [1] [2] aunque algunos lo atribuyen a Jayadeva (c. 950 ~ 1000 EC). [3] Jayadeva señaló que el enfoque de Brahmagupta para resolver ecuaciones de este tipo podría generalizarse, y luego describió este método general, que luego fue refinado por Bhāskara II en su Bijaganita.tratado. Lo llamó el método Chakravala: chakra que significa "rueda" en sánscrito , una referencia a la naturaleza cíclica del algoritmo. [4] C.-O. Selenius sostuvo que ninguna actuación europea en la época de Bhāskara, ni mucho después, excedió su maravilloso apogeo de complejidad matemática. [1] [4]
Este método también se conoce como método cíclico y contiene rastros de inducción matemática . [5]
Historia
Chakra en sánscrito significa ciclo. Según la leyenda popular, Chakravala indica una cadena mítica de montañas que orbita alrededor de la tierra como una pared y no está limitada por la luz y la oscuridad. [6]
Brahmagupta en 628 EC estudió ecuaciones cuadráticas indeterminadas, incluida la ecuación de Pell
para enteros mínimos x e y . Brahmagupta pudo resolverlo por varios N , pero no todos.
Jayadeva (siglo IX) y Bhaskara (siglo XII) ofrecieron la primera solución completa a la ecuación, utilizando el método chakravala para encontrar la solución
Este caso fue conocido por su dificultad y fue resuelto por primera vez en Europa por Brouncker en 1657–58 en respuesta a un desafío de Fermat , utilizando fracciones continuas. Un método para el problema general fue descrito por primera vez rigurosamente por Lagrange en 1766. [7] El método de Lagrange, sin embargo, requiere el cálculo de 21 convergentes sucesivos de la fracción continua para la raíz cuadrada de 61, mientras que el método de chakravala es mucho más simple. Selenius, en su evaluación del método chakravala , afirma
- "El método representa el mejor algoritmo de aproximación de longitud mínima que, debido a varias propiedades de minimización, con un esfuerzo mínimo y evitando grandes números, produce automáticamente las mejores soluciones a la ecuación. El método chakravala se anticipó a los métodos europeos por más de mil años. Pero ninguna actuación europea en todo el campo del álgebra en una época mucho más tardía que la de Bhaskara, es más, casi igual a nuestra época, igualaba la maravillosa complejidad e ingenio de chakravala ". [1] [4]
Hermann Hankel llama al método chakravala
- "Lo mejor logrado en la teoría de los números antes de Lagrange". [8]
El método
De la identidad de Brahmagupta , observamos que para N dado ,
Para la ecuación , esto permite la "composición" ( samāsa ) de dos triples de solución y en un nuevo triple
En el método general, la idea principal es que cualquier triple (es decir, uno que satisfaga ) se puede componer con el triple trivial para conseguir el nuevo triple para cualquier m . Suponiendo que comenzamos con un triple para el que, esto se puede reducir por k (este es el lema de Bhaskara ):
Dado que los signos dentro de los cuadrados no importan, son posibles las siguientes sustituciones:
Cuando se elige un entero positivo m de modo que ( a + bm ) / k sea un entero, también lo son los otros dos números del triple. Entre tales m , el método elige uno que minimiza el valor absoluto de m 2 - N y, por tanto, el de ( m 2 - N ) / k . Luego se aplican las relaciones de sustitución para m igual al valor elegido. Esto da como resultado un nuevo triple ( a , b , k ). El proceso se repite hasta un triple cones encontrado. Este método siempre termina con una solución (probada por Lagrange en 1768). [9] Opcionalmente, podemos detenernos cuando k es ± 1, ± 2 o ± 4, ya que el enfoque de Brahmagupta da una solución para esos casos.
Ejemplos de
n = 61
El caso n = 61 (determinando una solución entera que satisface), presentado como un desafío por Fermat muchos siglos después, fue dado por Bhaskara como ejemplo. [9]
Empezamos con una solución para cualquier k encontrado por cualquier medio. En este caso podemos dejar que b sea 1, por lo tanto, ya que, tenemos el triple . Componiéndolo con da el triple , que se reduce (o se usa directamente el lema de Bhaskara ) para obtener:
Para que 3 se divida y para ser mínimo, elegimos , para que tengamos el triple . Ahora que k es −4, podemos usar la idea de Brahmagupta: se puede reducir a la solución racional, que compuso consigo mismo tres veces, con respectivamente, cuando k se vuelve cuadrado y se puede aplicar la escala, esto da . Finalmente, dicho procedimiento se puede repetir hasta que se encuentre la solución (requiriendo 9 autocomposiciones adicionales y 4 escalas cuadradas adicionales):. Esta es la solución de entero mínimo.
n = 67
Supongamos que vamos a resolver para x y y . [10]
Empezamos con una solución para cualquier k encontrado por cualquier medio; en este caso podemos dejar que b sea 1, produciendo así. En cada paso, encontramos un m > 0 tal que k divide a + bm , y | m 2 - 67 | es mínimo. A continuación, actualizamos un , b y k a y respectivamente.
- Primera iteración
Tenemos . Queremos un entero positivo m tal que k divida a + bm , es decir, 3 divida 8 + m, y | m 2 - 67 | es mínimo. La primera condición implica que m es de la forma 3 t + 1 (es decir, 1, 4, 7, 10,… etc.), y entre tales m , el valor mínimo se alcanza para m = 7. Reemplazando ( a , b , k ) con, obtenemos los nuevos valores . Es decir, tenemos la nueva solución:
En este punto, se completa una ronda del algoritmo cíclico.
- Segunda iteración
Ahora repetimos el proceso. Tenemos. Queremos un m > 0 tal que k divida a + bm , es decir, 6 divida 41 + 5 m , y | m 2 - 67 | es mínimo. La primera condición implica que m es de la forma 6 t + 5 (es decir, 5, 11, 17,… etc.), y entre tales m , | m 2 - 67 | es mínimo para m = 5. Esto conduce a la nueva solución a = (41⋅5 + 67⋅5) / 6, etc .:
- Tercera iteración
Para que 7 divida 90 + 11 m , debemos tener m = 2 + 7 t (es decir, 2, 9, 16,… etc.) y entre tales m , elegimos m = 9.
- Solución final
En este punto, podríamos continuar con el método cíclico (y terminaría, después de siete iteraciones), pero como el lado derecho está entre ± 1, ± 2, ± 4, también podemos usar la observación de Brahmagupta directamente. Al componer el triple (221, 27, −2) consigo mismo, obtenemos
es decir, tenemos la solución entera:
Esta ecuación se aproxima como dentro de un margen de aproximadamente .
Notas
- ^ a b c Hoiberg & Ramchandani - Britannica India de los estudiantes: Bhaskaracharya II, página 200
- ↑ Kumar, página 23
- ↑ Plofker, página 474
- ↑ a b c Goonatilake, página 127-128
- ↑ Cajori (1918), p. 197
"El proceso de razonamiento llamado" inducción matemática "ha tenido varios orígenes independientes. Se remonta al suizo Jakob (James) Bernoulli, al francés B. Pascal y P. Fermat, y al italiano F. Maurolycus. [.. .] Al leer un poco entre líneas, uno puede encontrar rastros de inducción matemática aún antes, en los escritos de los hindúes y los griegos, como, por ejemplo, en el "método cíclico" de Bhaskara, y en la prueba de Euclides de que el número de primos es infinito ".
- ^ Gopal, Madan (1990). KS Gautam (ed.). India a través de los siglos . División de Publicaciones, Ministerio de Información y Radiodifusión, Gobierno de la India. pag. 79 .
- ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Ecuación de Pell" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- ^ Kaye (1919), pág. 337.
- ^ a b John Stillwell (2002), Matemáticas y su historia (2 ed.), Springer, págs. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6
- ^ Se da el ejemplo de esta sección (con notaciónpara k ,para m , etc.) en: Michael J. Jacobson; Hugh C. Williams (2009), Resolver la ecuación de Pell , Springer, p. 31, ISBN 978-0-387-84922-5
Referencias
- Florian Cajori (1918), Origen del nombre "Inducción matemática", The American Mathematical Monthly 25 (5), p. 197-201.
- George Gheverghese Joseph, La cresta del pavo real: raíces no europeas de las matemáticas (1975).
- GR Kaye, "Matemáticas indias", Isis 2 : 2 (1919), pág. 326–356.
- Clas-Olaf Selenius, "Justificación del proceso de chakravala de Jayadeva y Bhaskara II" , Historia Mathematica 2 (1975), págs. 167-184.
- Clas-Olaf Selenius, "Kettenbruchtheoretische Erklärung der zyklischen Methode zur Lösung der Bhaskara-Pell-Gleichung", Acta Acad. Abo. Matemáticas. Phys. 23 (10) (1963), págs. 1-44.
- Hoiberg, Dale y Ramchandani, Indu (2000). Estudiantes de Britannica India . Mumbai: Prakashan popular. ISBN 0-85229-760-2
- Goonatilake, Susantha (1998). Hacia una ciencia global: minar el conocimiento de las civilizaciones . Indiana: Prensa de la Universidad de Indiana. ISBN 0-253-33388-1 .
- Kumar, Narendra (2004). Ciencia en la India antigua . Delhi: Publicaciones Anmol Pvt Ltd. ISBN 81-261-2056-8
- Ploker, Kim (2007) "Matemáticas en India". Las matemáticas de Egipto, Mesopotamia, China, India e Islam: un libro de consulta Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-11485-4
- Edwards, Harold (1977). Último teorema de Fermat . Nueva York: Springer . ISBN 0-387-90230-9.
enlaces externos
- Introducción a chakravala