En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría rígida es una categoría monoidal donde todo objeto es rígido, es decir, tiene un X * dual (el Hom [X, 1] interno ) y un morfismo 1 → X ⊗ X * satisfactorio condiciones naturales. La categoría se llama rígida derecha o rígida izquierda según tenga duales derechos o duales izquierdos. Fueron definidos por primera vez (siguiendo a Alexandre Grothendieck ) por Neantro Saavedra-Rivano en su tesis sobre las categorías tannakianas . [1]
Definición
Hay al menos dos definiciones equivalentes de rigidez.
- Un objeto X de una categoría monoidal se llama rígido izquierdo si hay un objeto Y y morfismos y tal que ambas composiciones
son identidades. Un objeto rígido derecho se define de manera similar.
Una inversa es un objeto X −1 tal que tanto X ⊗ X −1 como X −1 ⊗ X son isomorfos a 1 , el único objeto de la categoría monoidal. Si un objeto X tiene una inversa izquierda (resp. Derecha) X −1 con respecto al producto tensorial, entonces es izquierda (resp. Derecha) rígida, y X * = X −1 .
La operación de tomar duales da un funtor contravariante en una categoría rígida.
Usos
Una aplicación importante de la rigidez es la definición del rastro de un endomorfismo de un objeto rígido. La traza se puede definir para cualquier categoría rígida de modo que tomar el () ** , el funtor de tomar el dual repetido dos veces, sea isomorfo al funtor de identidad, es decir, una categoría fundamental. Entonces, para cualquier objeto rígido derecho X , y cualquier otro objeto Y , podemos definir el isomorfismo
y su isomorfismo recíproco
.
Entonces para cualquier endomorfismo , la traza es de f se define como la composición:
Podemos continuar más allá y definir la dimensión de un objeto rígido como:
.
La rigidez también es importante debido a su relación con los Hom's internos. Si X es un objeto izquierda rígida, entonces cada Hom interna de la forma [X, Z] existe y es isomorfo a Z ⊗ Y . En particular, en una categoría rígida, existen todos los Hom internos.
Terminología alternativa
Una categoría monoidal en la que cada objeto tiene un dual izquierdo (o derecho) también se denomina a veces categoría autónoma izquierda (o derecho) . Una categoría monoidal en la que cada objeto tiene un dual izquierdo y uno derecho a veces se denomina categoría autónoma . Una categoría autónoma que también es simétrica se denomina categoría cerrada compacta .
Discusión
Una categoría monoidal es una categoría con un producto tensorial, precisamente el tipo de categoría para la que la rigidez tiene sentido.
- La categoría de motivos puros se forma rígiendo la categoría de motivos puros efectivos.
Notas
- ^ N. Saavedra Rivano, Catégories Tannakiennes , Springer LNM 265, 1972
Referencias
- Davydov, AA (1998). "Categorías y functores monoidales". Revista de Ciencias Matemáticas . 88 (4): 458–472. doi : 10.1007 / BF02365309 .
- Categoría monoidal rígida en nLab