Revestimiento ramificado

En topología, un mapa es una cobertura ramificada si es un mapa de cobertura en todas partes excepto en un conjunto denso en ninguna parte conocido como conjunto de ramificaciones. Los ejemplos incluyen el mapa de una cuña de círculos a un solo círculo, donde el mapa es un homeomorfismo en cada círculo.

En geometría algebraica , el término cobertura ramificada se usa para describir morfismos de una variedad algebraica a otra , siendo las dos dimensiones iguales, y la fibra típica de ser de dimensión 0. ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle W}$ ${\ Displaystyle f}$

En ese caso, habrá un conjunto abierto de (para la topología de Zariski ) que es denso en , de modo que la restricción de a (de a , es decir) no está ramificada . ^[^{aclaración necesaria}^] Dependiendo del contexto, podemos tomar esto como homeomorfismo local para la topología fuerte , sobre los números complejos , o como un morfismo étale en general (bajo algunas hipótesis un poco más fuertes, sobre planitud y separabilidad ). Genéricamente ${\ Displaystyle W '}$ ${\ Displaystyle W}$ ${\ Displaystyle W}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle W '}$ ${\ Displaystyle V '= f ^ {- 1} (W')}$ ${\ Displaystyle W '}$ , entonces, tal morfismo se asemeja a un espacio de cobertura en el sentido topológico. Por ejemplo, si y son ambas superficies de Riemann , solo requerimos que sea holomorfa y no constante, y luego hay un conjunto finito de puntos de , fuera del cual encontramos una cobertura honesta. ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle W}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle P}$ ${\ Displaystyle W}$

El conjunto de puntos excepcionales en se denomina locus de ramificación (es decir, este es el complemento del conjunto abierto más grande posible ). En general, la monodromía se produce según el grupo fundamental de actuación sobre las láminas del revestimiento (este cuadro topológico se puede precisar también en el caso de un campo de base general). ${\ Displaystyle W}$ ${\ Displaystyle W '}$ ${\ Displaystyle W '}$

Los recubrimientos ramificados se construyen fácilmente como extensiones de Kummer , es decir, como extensión algebraica del campo funcional . Las curvas hiperelípticas son ejemplos prototípicos.

Los morfismos de las curvas proporcionan muchos ejemplos de revestimientos ramificados. Por ejemplo, sea $C$ la curva elíptica de la ecuación