En matemáticas, un álgebra de Brauer es un álgebra introducido por Richard Brauer ( 1937 , sección 5) utilizado en la teoría de la representación del grupo ortogonal . Desempeña el mismo papel que el grupo simétrico para la teoría de la representación del grupo lineal general en la dualidad Schur-Weyl .
Definición
En términos de diagramas
El álgebra de Brauer es un -álgebra en función de la elección de un entero positivo n . Aquí es un indeterminado, pero en la práctica a menudo se especializa en la dimensión de la representación fundamental de un grupo ortogonal . El álgebra de Brauer tiene dimensión y tiene una base que consta de todos los emparejamientos en un conjunto de elementos (es decir, todas las coincidencias perfectas de un gráfico completo : dos de los los elementos pueden coincidir entre sí, independientemente de sus símbolos). Los elementos generalmente se escriben en una fila, con los elementos debajo de ellos. El producto de dos elementos básicos. y se obtiene identificando primero los puntos finales en la fila inferior de y la fila superior de (Figura AB en el diagrama), luego borrando los extremos en la fila del medio y uniendo los extremos en las dos filas restantes si están unidos, directamente o por una ruta, en AB (Figura AB = nn en el diagrama). De este modo, se eliminan todos los bucles cerrados en el medio de AB . El producto de los elementos base se define entonces como el elemento base correspondiente al nuevo emparejamiento multiplicado por dónde es el número de bucles eliminados. En el ejemplo.
En términos de generadores y relaciones
también se puede definir como el -álgebra con generadores satisfaciendo las siguientes relaciones:
- Relaciones del grupo simétrico :
- cuando sea
- Relación casi idempotente :
- Conmutación:
- cuando sea
- Relaciones enredadas
- Desenroscar:
- :
En esta presentación representa el diagrama en el que siempre está conectado a directamente debajo de él excepto por y que están conectados a ans respectivamente. similar representa el diagrama en el que siempre está conectado a directamente debajo de él excepto por estar conectado a y a .
Propiedades
La subálgebra generada por el es el álgebra de grupo del grupo simétrico. El álgebra de Brauer es un álgebra celular .
Acción sobre los poderes tensoriales
Dejar ser un espacio vectorial euclidiano de dimensión. A continuación, escribir para la especialización dónde actúa sobre por multiplicación con . El poder tensorial es naturalmente un - módulo : actúa cambiando el th y el factor tensorial y actúa por contracción seguida de expansión en el th y th factor tensorial, es decir actúa como
dónde es cualquier base ortonormal de (la suma es de hecho independiente de la elección de tal base).
Esta acción es útil en una generalización de la dualidad Schur-Weyl : La imagen de adentro es exactamente el centralizador de adentro y viceversa. El poder tensorial es por tanto un - y un -módulo y satisface
dónde corre sobre ciertas particiones y son los irreductibles - y -módulo asociado con respectivamente.
El grupo ortogonal
Si O d ( R ) es el grupo ortogonal que actúa sobre V = R d , entonces el álgebra de Brauer tiene una acción natural sobre el espacio de polinomios en V n conmutando con la acción del grupo ortogonal.
Ver también
- Álgebra de Birman-Wenzl , una deformación del álgebra de Brauer.
Referencias
- Brauer, Richard (1937), "Sobre álgebras que están conectadas con los grupos continuos semisimple", Annals of Mathematics , Segunda serie, Annals of Mathematics, 38 (4): 857–872, doi : 10.2307 / 1968843 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1968843
- Wenzl, Hans (1988), "Sobre la estructura de las álgebras centralizadoras de Brauer", Annals of Mathematics , Second Series, 128 (1): 173-193, doi : 10.2307 / 1971466 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971466 , MR 0951511
- Weyl, Hermann (1946), Los grupos clásicos: sus invariantes y representaciones , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, MR 0000255 , consultado el 26 de marzo de 2007