La dualidad de Schur-Weyl es un teorema matemático en la teoría de la representación que relaciona representaciones de dimensión finita irreductibles de los grupos lineales y simétricos generales . Lleva el nombre de dos pioneros de la teoría de la representación de los grupos de Lie , Issai Schur , que descubrió el fenómeno, y Hermann Weyl , que lo popularizó en sus libros sobre mecánica cuántica y grupos clásicos como una forma de clasificar las representaciones de grupos lineales unitarios y generales.
La dualidad de Schur-Weyl puede demostrarse utilizando el teorema del doble centralizador . [1]
Descripción
La dualidad Schur-Weyl forma una situación arquetípica en la teoría de la representación que involucra dos tipos de simetría que se determinan entre sí. Considere el espacio tensorial
- con k factores.
El grupo simétrico S k sobre k letras actúa sobre este espacio (a la izquierda) permutando los factores,
El grupo lineal general GL n de matrices n × n invertibles actúa sobre él mediante la multiplicación simultánea de matrices ,
Estas dos acciones conmutan , y en su forma concreta, la dualidad Schur-Weyl afirma que bajo la acción conjunta de los grupos S k y GL n , el espacio tensorial se descompone en una suma directa de productos tensoriales de módulos irreducibles (para estos dos grupos ) que realmente se determinan entre sí,
Los sumandos están indexados por los diagramas de Young D con k cuadros y como máximo n filas, y representacionesde S k con diferentes D son mutuamente no isomorfos, y lo mismo es cierto para las representacionesde GL n .
La forma abstracta de la dualidad Schur-Weyl afirma que dos álgebras de operadores en el espacio tensorial generado por las acciones de GL n y S k son los centralizadores mutuos completos en el álgebra de los endomorfismos.
Ejemplo
Suponga que k = 2 y n es mayor que uno. Entonces, la dualidad Schur-Weyl es la afirmación de que el espacio de dos tensores se descompone en partes simétricas y antisimétricas, cada una de las cuales es un módulo irreducible para GL n :
El grupo simétrico S 2 consta de dos elementos y tiene dos representaciones irreductibles, la representación trivial y la representación de signo . La representación trivial de S 2 da lugar a los tensores simétricos, que son invariantes (es decir, no cambian) bajo la permutación de los factores, y la representación del signo corresponde a los tensores simétricos sesgados, que invierten el signo.
Prueba
Primero considere la siguiente configuración:
- G un grupo finito ,
- el álgebra de grupo de G ,
- un módulo A derecho de dimensión finita , y
- , que actúa sobre U desde la izquierda y conmuta con la acción derecha de G (o de A ). En otras palabras, es el centralizador de en el anillo de endomorfismo .
La demostración usa dos lemas algebraicos.
Lema 1 - [2] Sies un simple módulo A izquierdo , entonceses un módulo B simple a la izquierda .
Demostración : dado que U es semisimple según el teorema de Maschke , hay una descomposiciónen módulos A simples. Luego. Dado que A es la representación regular izquierda de G , cada módulo G simple aparece en A y tenemos que (respectivamente cero) si y solo si corresponden al mismo factor simple de A (respectivamente en caso contrario). Por tanto, tenemos: Ahora, es fácil ver que cada vector distinto de cero en genera todo el espacio como un módulo B y asíes simple. (En general, un módulo distinto de cero es simple si y solo si cada uno de sus submódulos cíclicos distintos de cero coincide con el módulo).
Lema 2 - [3] Cuandoy G es el grupo simétrico, un subespacio de es un submódulo B si y solo si es invariante bajo; en otras palabras, un submódulo B es lo mismo que un-submódulo.
Prueba : dejar. La. Además, la imagen de W abarca el subespacio de tensores simétricos. Desde, la imagen de tramos . Desdees denso en W en la topología euclidiana o en la topología de Zariski, la afirmación sigue.
Ahora sigue la dualidad Schur-Weyl. Nosotros tomamos ser el grupo simétrico y la d -ésima tensor de potencia de un espacio vectorial complejo de dimensión finita V .
Dejar denotar lo irreductible -representación correspondiente a una partición y . Luego por el Lema 1
es irreductible como -módulo. Además, cuandoes la descomposición semisimple izquierda, tenemos: [4]
- ,
que es la descomposición semisimple como un -módulo.
Notas
- ^ Etingof, Pavel; Golberg, Oleg; Hensel, Sebastián; Liu, Tiankai; Schwendner, Alex; Vaintrob, Dmitry; Yudovina, Elena (2011), Introducción a la teoría de la representación. Con interludios históricos de Slava Gerovitch , Zbl 1242.20001, Teorema 5.18.4
- ^ Fulton y Harris , Lema 6.22.
- ^ Fulton y Harris , Lema 6.23.
- ^ Fulton y Harris , Teorema 6.3. (2), (4)
Referencias
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 .
- Roger Howe , Perspectivas sobre la teoría invariante: dualidad de Schur, acciones libres de multiplicidad y más . Las conferencias de Schur (1992) (Tel Aviv), 1–182, Israel Math. Conf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1995. MR1321638
- Issai Schur , Über eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen . Disertación. Berlina. 76 S (1901) JMF 32.0165.04
- Issai Schur , Über die rationalen Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe . Sitzungsberichte Akad. Berlín 1927, 58–75 (1927) JMF 53.0108.05
- Sengupta, Ambar N. (2012). "Capítulo 10: Dualidad de caracteres". Representación de grupos finitos, una introducción semimpleta . Saltador. ISBN 978-1-4614-1232-8. OCLC 875741967 .
- Hermann Weyl , Los grupos clásicos. Sus invariantes y representaciones . Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1939. xii + 302 págs. MR0000255
enlaces externos
- ¿Cómo demostrar constructiva / combinatoriamente la dualidad Schur-Weyl?