El lema de Burnside , a veces también llamado teorema de conteo de Burnside , el lema de Cauchy-Frobenius , teorema de conteo de órbitas o El lema que no es de Burnside , es un resultado en la teoría de grupos que a menudo es útil para tener en cuenta la simetría al contar objetos matemáticos. Sus diversos epónimos se basan en William Burnside , George Pólya , Augustin Louis Cauchy y Ferdinand Georg Frobenius . El resultado no se debe al propio Burnside, quien simplemente lo cita en su libro 'Sobre la teoría de los grupos del orden finito', atribuyéndolo en cambio a Frobenius (1887). [1]
En lo que sigue, vamos G sea un finito grupo que actúa sobre un conjunto X . Para cada g en G, sea X g el conjunto de elementos en X que están fijados por g (también se dice que se dejan invariantes por g ), es decir, X g = { x ∈ X | g . x = x }. El lema de Burnside afirma la siguiente fórmula para el número de órbitas , denotado | X / G |: [2]
Por tanto, el número de órbitas (un número natural o + ∞ ) es igual al número medio de puntos fijados por un elemento de G (que también es un número natural o infinito). Si G es infinito, la división por | G | puede no estar bien definido; en este caso se cumple la siguiente declaración en aritmética cardinal :
Aplicación de ejemplo
El número de coloraciones rotacionalmente distintas de las caras de un cubo usando tres colores se puede determinar a partir de esta fórmula de la siguiente manera.
Sea X el conjunto de 3 6 combinaciones posibles de colores de cara que se pueden aplicar a un cubo en una orientación particular, y deje que el grupo de rotación G del cubo actúe sobre X de forma natural. Entonces, dos elementos de X pertenecen a la misma órbita precisamente cuando uno es simplemente una rotación del otro. El número de colorantes rotacionalmente distintos es por lo tanto el mismo que el número de órbitas y se puede encontrar contando los tamaños de los conjuntos fijos para los 24 elementos de G .
- un elemento de identidad que deja los 3 6 elementos de X sin cambios
- seis rotaciones faciales de 90 grados, cada una de las cuales deja 3 3 de los elementos de X sin cambios
- tres rotaciones faciales de 180 grados, cada una de las cuales deja 3 4 de los elementos de X sin cambios
- ocho rotaciones de vértices de 120 grados, cada una de las cuales deja 3 2 de los elementos de X sin cambios
- seis rotaciones de borde de 180 grados, cada una de las cuales deja 3 3 de los elementos de X sin cambios
Aquí se puede encontrar un examen detallado de estos automorfismos .
Por tanto, el tamaño medio de corrección es
Por lo tanto, hay 57 coloraciones rotacionalmente distintas de las caras de un cubo en tres colores. En general, el número de coloraciones rotacionalmente distintas de las caras de un cubo en n colores viene dado por
Prueba
El primer paso en la demostración del lema es volver a expresar la suma sobre los elementos del grupo g ∈ G como una suma equivalente sobre el conjunto de elementos x ∈ X :
(Aquí X g = { x ∈ X | gx = x } es el subconjunto de todos los puntos de X fijados por g ∈ G , mientras que G x = { g ∈ G | gx = x } es el subgrupo estabilizador de G que fija el punto x ∈ X. )
El teorema del estabilizador de órbita dice que hay una biyección natural para cada x ∈ X entre la órbita de x , Gx = { gx | g ∈ G } ⊆ X , y el conjunto de clases laterales izquierdas G / G x de su subgrupo estabilizador G x . Con el teorema de Lagrange esto implica
Por tanto, nuestra suma sobre el conjunto X puede reescribirse como
Finalmente, observe que X es la unión disjunta de todas sus órbitas en X / G , lo que significa que la suma de X puede dividirse en sumas separadas en cada órbita individual.
Poner todo junto da el resultado deseado:
Esta prueba es esencialmente también la prueba de la fórmula de la ecuación de clase , simplemente al considerar que la acción de G sobre sí misma ( X = G ) es por conjugación, g . x = GXG -1 , en cuyo caso G x instancia para el centralizador de x en G .
Historia: el lema que no es de Burnside
William Burnside enunció y demostró este lema, atribuyéndolo a Frobenius 1887 , en su libro de 1897 sobre grupos finitos. Pero, incluso antes de Frobenius, Cauchy conocía la fórmula en 1845. De hecho, el lema aparentemente era tan conocido que Burnside simplemente omitió atribuirlo a Cauchy. En consecuencia, este lema a veces se denomina el lema que no es el de Burnside [3] (véase también la ley de la eponimia de Stigler ). Esto es menos ambiguo de lo que parece: Burnside contribuyó con muchos lemas a este campo. [ cita requerida ]
Ver también
Notas
- ^ Burnside 1897 , §119
- ^ Rotman 1995 , Capítulo 3
- ^ Neumann 1979
Referencias
- Burnside, William (1897) Theory of Groups of Finite Order , Cambridge University Press , en Project Gutenberg y aquí en Archive.org . (Esta es la primera edición; la introducción a la segunda edición contiene la famosa volte face de Burnside con respecto a la utilidad de la teoría de la representación ).
- Frobenius, Ferdinand Georg (1887), "Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul", Crelle's Journal , 101 (4): 273-299, doi : 10.3931 / e-rara-18804.
- Neumann, Peter M. (1979), "Un lema que no es de Burnside", The Mathematical Scientist , 4 (2): 133–141, ISSN 0312-3685 , MR 0562002.
- Rotman, Joseph (1995), Introducción a la teoría de grupos , Springer-Verlag, ISBN 0-387-94285-8.
- Cheng, Yuanyou F. (1986), Una generalización del lema de Burnside para multiplicar grupos transitivos , revista de la Universidad Tecnológica de Hubei, ISSN 1003-4684.