Teorema de Campbell (probabilidad)
En teoría de probabilidad y estadística , el teorema de Campbell o el teorema de Campbell-Hardy es una ecuación particular o un conjunto de resultados relacionados con la expectativa de una función sumada sobre un proceso puntual a una integral que involucra la medida media del proceso puntual, lo que permite el cálculo del valor esperado y la varianza de la suma aleatoria . Una versión del teorema, [1] también conocida como fórmula de Campbell , [2]: 28 implica una ecuación integral para la suma mencionada sobre un proceso puntual general, y no necesariamente un proceso puntual de Poisson. [2] También existen ecuaciones que involucran medidas de momentos y medidas de momentos factoriales que se consideran versiones de la fórmula de Campbell. Todos estos resultados se emplean en probabilidad y estadística con una importancia particular en la teoría de procesos puntuales [3] y teoría de colas [4] así como los campos relacionados geometría estocástica , [1] teoría de percolación continua , [5] y estadística espacial . [2][6]
Otro resultado con el nombre de teorema de Campbell [7] es específicamente para el proceso de punto de Poisson y proporciona un método para calcular momentos así como el funcional de Laplace de un proceso de punto de Poisson.
El nombre de ambos teoremas proviene del trabajo [8] [9] de Norman R. Campbell sobre el ruido termoiónico , también conocido como ruido de disparo , en tubos de vacío , [3] [10] que se inspiró en parte en el trabajo de Ernest Rutherford y Hans Geiger sobre la detección de partículas alfa , donde el proceso del punto de Poisson surgió como solución a una familia de ecuaciones diferenciales de Harry Bateman . [10] En la obra de Campbell, presenta los momentos y funciones generadorasde la suma aleatoria de un proceso de Poisson en la línea real, pero comenta que el argumento matemático principal se debió a GH Hardy , que ha inspirado el resultado que a veces se llama el teorema de Campbell-Hardy . [10] [11]
Para un proceso puntual definido en el espacio euclidiano d -dimensional , [a] el teorema de Campbell ofrece una forma de calcular las expectativas de una función de valor real definida también en y resumida , a saber:
donde denota la expectativa y la notación de conjunto se usa de tal manera que se considera un conjunto aleatorio (ver Notación de proceso de punto ). Para un proceso puntual , el teorema de Campbell relaciona la expectativa anterior con la medida de intensidad . En relación con un conjunto Borel B , la medida de intensidad de se define como:
donde la notación de medida se usa de tal manera que se considera una medida de conteo aleatorio . La cantidad se puede interpretar como el número medio de puntos del proceso puntual situado en el conjunto B.
