En matemáticas y teoría de la probabilidad , la teoría de la percolación continua es una rama de las matemáticas que extiende la teoría de la percolación discreta al espacio continuo (a menudo espacio euclidiano ℝ n ). Más específicamente, los puntos subyacentes de percolación discreta forman tipos de celosías, mientras que los puntos subyacentes de percolación continua a menudo se colocan al azar en algún espacio continuo y forman un tipo de proceso puntual.. Para cada punto, con frecuencia se coloca una forma aleatoria sobre él y las formas se superponen entre sí para formar grupos o componentes. Al igual que en la percolación discreta, un foco de investigación común de la percolación continua es estudiar las condiciones de ocurrencia de componentes infinitos o gigantes. [1] [2] Existen otros conceptos y técnicas de análisis compartidos en estos dos tipos de teoría de percolación, así como en el estudio de gráficos aleatorios y gráficos geométricos aleatorios .
La percolación continua surgió de un modelo matemático temprano para redes inalámbricas , [2] [3] que, con el surgimiento de varias tecnologías de redes inalámbricas en los últimos años, se ha generalizado y estudiado para determinar los límites teóricos de la capacidad de información y el rendimiento en redes inalámbricas. [4] [5] Además de este escenario, la percolación continua ha ganado aplicación en otras disciplinas incluyendo biología, geología y física, como el estudio de material poroso y semiconductores , convirtiéndose en un tema de interés matemático por derecho propio. [6]
Historia temprana
A principios de la década de 1960, Edgar Gilbert [3] propuso un modelo matemático en redes inalámbricas que dio lugar al campo de la teoría de la percolación continua, generalizando así la percolación discreta. [2] Los puntos subyacentes de este modelo, a veces conocido como modelo de disco de Gilbert, se dispersaron uniformemente en el plano infinito ℝ 2 de acuerdo con un proceso de Poisson homogéneo . Gilbert, quien había notado similitudes entre la percolación discreta y continua, [7] luego usó conceptos y técnicas del sujeto de probabilidad de los procesos de ramificación para mostrar que existía un valor umbral para el componente infinito o "gigante".
Definiciones y terminología
Los nombres exactos, la terminología y las definiciones de estos modelos pueden variar ligeramente según la fuente, lo que también se refleja en el uso de la notación de proceso puntual .
Modelos comunes
Existen varios modelos bien estudiados de percolación continua, que a menudo se basan en procesos homogéneos de puntos de Poisson .
Modelo de disco
Considere una colección de puntos { x i } en el plano ℝ 2 que forman un proceso de Poisson homogéneo Φ con densidad constante (de puntos) λ . Para cada punto del proceso de Poisson (es decir, x i ∈ Φ , coloque un disco D i con su centro ubicado en el punto x i . Si cada disco D i tiene un radio aleatorio R i (de una distribución común ) que es independiente de todos los demás radios y todos los puntos subyacentes { x i } , entonces la estructura matemática resultante se conoce como modelo de disco aleatorio.
Modelo booleano
Dado un modelo de disco aleatorio, si se toma la unión de todos los discos { D i } , entonces la estructura resultante ⋃ i D i se conoce como modelo booleano-Poisson (también conocido simplemente como modelo booleano ), [8] que es un modelo comúnmente estudiado en la percolación continua [1] , así como en la geometría estocástica . [8] Si todos los radios se establecen en alguna constante común, digamos, r > 0 , entonces el modelo resultante a veces se conoce como modelo de disco de Gilbert (booleano). [9]
Modelo de germen-grano
El modelo de disco se puede generalizar a formas más arbitrarias donde, en lugar de un disco, se coloca una forma compacta aleatoria (por lo tanto acotada y cerrada en ℝ 2 ) S i en cada punto x i . Nuevamente, cada forma S i tiene una distribución común e independiente de todas las demás formas y del proceso puntual subyacente (Poisson). Este modelo se conoce como el modelo germen-grano donde los puntos subyacentes { x i } son los gérmenes y las formas compactas aleatorias S i son los granos . La unión de conjuntos de todas las formas forma un modelo booleano de germen-grano. Las opciones típicas para los granos incluyen discos, polígono aleatorio y segmentos de longitud aleatoria. [8]
Los modelos booleanos también son ejemplos de procesos estocásticos conocidos como procesos de cobertura. [10] Los modelos anteriores pueden extenderse desde el plano ℝ 2 hasta el espacio euclidiano general ℝ n .
Componentes y criticidad
En el modelo de Boolean-Poisson, los discos pueden haber grupos aislados o grupos de discos que no contactan con ningún otro grupo de discos. Estos grupos se conocen como componentes. Si el área (o volumen en dimensiones superiores) de un componente es infinito, se dice que es un componente infinito o "gigante". Un enfoque importante de la teoría de la percolación es establecer las condiciones en las que existen componentes gigantes en los modelos, lo que tiene paralelos con el estudio de redes aleatorias. Si no existe un componente importante, se dice que el modelo es subcrítico. Las condiciones de criticidad de los componentes gigantes dependen naturalmente de parámetros del modelo, como la densidad del proceso puntual subyacente.
Teoría del área excluida
El área excluida de un objeto colocado se define como el área mínima alrededor del objeto en la que no se puede colocar un objeto adicional sin superponerse con el primer objeto. Por ejemplo, en un sistema de rectángulos homogéneos orientados aleatoriamente de longitud l , ancho w y relación de aspecto r =l/w, el área excluida promedio viene dada por: [11]
En un sistema de elipses idénticos con semi-ejes un y b y la relación de r = a/By perímetro C , el promedio de áreas excluidas viene dado por: [12]
La teoría del área excluida establece que la densidad numérica crítica (umbral de percolación) N c de un sistema es inversamente proporcional al área excluida promedio A r :
Se ha demostrado a través de simulaciones de Monte-Carlo que el umbral de percolación en sistemas tanto homogéneos como heterogéneos de rectángulos o elipses está dominado por las áreas excluidas promedio y puede aproximarse bastante bien por la relación lineal
con una constante de proporcionalidad en el rango de 3,1–3,5. [11] [12]
Aplicaciones
Las aplicaciones de la teoría de la percolación son diversas y van desde las ciencias de los materiales hasta los sistemas de comunicación inalámbrica . A menudo, el trabajo implica mostrar que se produce un tipo de transición de fase en el sistema.
Redes inalámbricas
Las redes inalámbricas a veces se representan mejor con modelos estocásticos debido a su complejidad e imprevisibilidad, por lo que se ha utilizado la percolación continua para desarrollar modelos de geometría estocástica de redes inalámbricas . Por ejemplo, las herramientas de la teoría de la percolación continua y los procesos de cobertura se han utilizado para estudiar la cobertura y conectividad de las redes de sensores . [13] [14] Una de las principales limitaciones de estas redes es el consumo de energía, donde generalmente cada nodo tiene una batería y una forma integrada de recolección de energía. Para reducir el consumo de energía en las redes de sensores, se han sugerido varios esquemas de suspensión que implican que una subcolección de nodos entre en un modo de suspensión de bajo consumo de energía. Estos esquemas de sueño obviamente afectan la cobertura y conectividad de las redes de sensores. Se han propuesto modelos simples de ahorro de energía, como el modelo simple descoordinado de "parpadeo" en el que (en cada intervalo de tiempo) cada nodo se apaga (o se enciende) independientemente con alguna probabilidad fija. Utilizando las herramientas de la teoría de la percolación, se ha analizado un modelo de Poisson booleano parpadeante para estudiar los efectos de latencia y conectividad de un esquema de energía tan simple. [13]
Ver también
- Modelos de geometría estocástica de redes inalámbricas
- Gráficos aleatorios
- Modelo booleano (teoría de la probabilidad)
Referencias
- ↑ a b Meester, R. (1996). Percolación continua . 119 . Prensa de la Universidad de Cambridge.[ Falta el ISBN ]
- ^ a b c Franceschetti, M .; Meester, R. (2007). Redes aleatorias para la comunicación: de la física estadística a los sistemas de información . 24 . Prensa de la Universidad de Cambridge.[ Falta el ISBN ]
- ^ a b Gilbert, EN (1961). "Redes de planos aleatorios". Revista de la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas . 9 (4): 533–543. doi : 10.1137 / 0109045 .
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