Laplace funcional

En la teoría de la probabilidad , un funcional de Laplace se refiere a una de dos posibles funciones matemáticas de funciones o, más precisamente, funcionales que sirven como herramientas matemáticas para estudiar procesos puntuales o propiedades de concentración de medida de espacios métricos . Un tipo de funcional de Laplace, ^{[1] [2]} también conocido como funcional característico ^[a] se define en relación con un proceso puntual, que puede interpretarse como medidas de conteo aleatorias, y tiene aplicaciones para caracterizar y derivar resultados en procesos puntuales . ^[5] Su definición es análoga a unfunción característica para una variable aleatoria .

El otro funcional de Laplace es para espacios de probabilidad equipados con métricas y se utiliza para estudiar la concentración de propiedades de medida del espacio.

Definición de procesos puntuales

Para un proceso de punto general definido en , el funcional de Laplace se define como: ^[6]${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$

${\displaystyle L_{N}(f)=E[e^{-\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x){N}(dx)}],}$

¿Dónde está cualquier función no negativa medible en y${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x){N}(dx)=\sum \limits _{x_{i}\in N}f(x_{i}).}$

donde la notación interpreta el proceso puntual como una medida de conteo aleatoria ; consulte Notación de proceso de puntos .${\displaystyle N(dx)}$

Aplicaciones

El funcional de Laplace caracteriza un proceso puntual, y si se conoce por un proceso puntual, se puede utilizar para probar varios resultados. ^{[2] [6]}

Definición de medidas de probabilidad

Para algún espacio de probabilidad métrica ( X ,  d ,  μ ), donde ( X ,  d ) es un espacio métrico y μ es una medida de probabilidad en los conjuntos de Borel de ( X ,  d ), el funcional de Laplace :

${\displaystyle E_{(X,d,\mu )}(\lambda ):=\sup \left\{\left.\int _{X}e^{\lambda f(x)}\,\mathrm {d} \mu (x)\right|f\colon X\to \mathbb {R} {\text{ is bounded, 1-Lipschitz and has }}\int _{X}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=0\right\}.}$

Los mapas funcionales de Laplace de la línea real positiva a la línea real positiva (extendida), o en notación matemática:

${\displaystyle E_{(X,d,\mu )}\colon [0,+\infty )\to [0,+\infty ]}$

Aplicaciones

La funcional de Laplace de ( X ,  d ,  μ ) se puede utilizar para unir la función de concentración de ( X ,  d ,  μ ), que se define para r  > 0 por

${\displaystyle \alpha _{(X,d,\mu )}(r):=\sup\{1-\mu (A_{r})\mid A\subseteq X{\text{ and }}\mu (A)\geq {\tfrac {1}{2}}\},}$

donde

${\displaystyle A_{r}:=\{x\in X\mid d(x,A)\leq r\}.}$

La funcional de Laplace de ( X ,  d ,  μ ) luego da pistas al límite superior:

${\displaystyle \alpha _{(X,d,\mu )}(r)\leq \inf _{\lambda \geq 0}e^{-\lambda r/2}E_{(X,d,\mu )}(\lambda ).}$

Notas

1. Kingman ^{[3] lo} llama "funcional característico", pero Daley y Vere-Jones ^[2] y otros lo llaman "funcional de Laplace", ^{[1] [4]} reservando el término "funcional característico" para cuandoes imaginario.${\displaystyle \theta }$

Referencias

1. D. Stoyan, WS Kendall y J. Mecke. Geometría estocástica y sus aplicaciones , volumen 2. Wiley, 1995.
2. D. J. Daley y D. Vere-Jones. Una introducción a la teoría de los procesos puntuales: Volumen I: Teoría y métodos elementales , Springer, Nueva York, segunda edición, 2003.
3. Kingman, John (1993). Procesos de Poisson . Publicaciones científicas de Oxford. pag. 28. ISBN 0-19-853693-3.
4. Baccelli, FO (2009). "Geometría estocástica y redes inalámbricas: teoría del volumen I" (PDF) . Fundamentos y Tendencias en Networking . 3 (3–4): 249–449. doi : 10.1561 / 1300000006 .
5. Barrett JF El uso de funcionales característicos y funcionales generadores acumulativos para discutir el efecto del ruido en sistemas lineales, J. Sound & Vibration 1964 vol.1, no.3, pp. 229-238
6. F. Baccelli y B. B {\ l} aszczyszyn. Geometría estocástica y redes inalámbricas, Volumen I - Teoría , volumen 3, No 3-4 de Fundamentos y tendencias en redes . Editores NoW, 2009.

• Ledoux, Michel (2001). El fenómeno de concentración de medida . Encuestas y Monografías Matemáticas. 89 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. x + 181. ISBN 0-8218-2864-9. Señor 1849347