En matemáticas, la noción de un mapa de Cannon-Thurston es cualquiera de una serie de mapas continuos equivariantes de grupo entre los límites de dos espacios métricos hiperbólicos que extienden acciones isométricas discretas del grupo en esos espacios.
La noción se originó a partir de una preimpresión seminal de la década de 1980 de las "curvas de Peano invariantes de grupo" de James Cannon y William Thurston (finalmente publicadas en 2007) sobre 3 variedades hiperbólicas fibrosas. [1]
Los mapas de Cannon-Thurston proporcionan muchos ejemplos geométricos naturales de curvas que llenan el espacio .
Historia
El mapa de Cannon-Thurston apareció por primera vez a mediados de la década de 1980 de James W. Cannon y William Thurston llamado "curvas de Peano invariantes de grupo". La preimpresión permaneció inédita hasta 2007, [1] pero mientras tanto había generado numerosos trabajos de seguimiento por parte de otros investigadores. [2]
En su artículo, Cannon y Thurston consideraron la siguiente situación. Deje que M sea un cerrado hiperbólica 3-colector que las fibras más el círculo con fibra S . Entonces la propia S es una superficie hiperbólica cerrada, y su cubierta universal se puede identificar con el plano hiperbólico . Del mismo modo, la cubierta universal de M se puede identificar con el 3-espacio hiperbólico . La inclusión se eleva a un -inclusión invariante . Esta inclusión está muy distorsionada porque la acción de en no es geométricamente finito .
Sin embargo, Cannon y Thurston demostraron que esta inclusión distorsionada se extiende a un continuo -mapa equivariante
- ,
dónde y . Además, en este caso, el mapa j es sobreyectivo , de modo que proporciona una función continua desde el círculo hasta la esfera 2, es decir, una curva que llena el espacio .
Cannon y Thurston también describieron explícitamente el mapa , A través de colapso estable y laminaciones inestables del monodromía pseudo-Anosov homeomorfismo de S para este fibración de M . En particular, esta descripción implica que el mapa j es uniformemente finito a uno, con la imagen previa de cada punto deque tiene cardinalidad como máximo 2 g , donde g es el género de S .
Después, el artículo de Cannon y Thurston generó una gran cantidad de trabajo de seguimiento, con otros investigadores analizando la existencia o no de análogos del mapa j en varias otras configuraciones motivadas por el resultado de Cannon-Thurston.
Mapas de Cannon-Thurston y grupos kleinianos
Representaciones kleinianas de grupos de superficies
El ejemplo original de Cannon y Thurston puede pensarse en términos de representaciones kleinianas del grupo de superficie. . Como subgrupo de, el grupo H actúa sobrepor isometrías, y esta acción es propiamente discontinua . Así se obtiene una representación discreta.
El grupo también actúa por isometrías, propiamente de forma discontinua y co-compacta, sobre la tapa universal , con el límite establecido siendo igual a . El resultado de Cannon-Thurston puede interpretarse en el sentido de que estas acciones de H en y inducir un mapa continuo H -equivariante.
Uno puede preguntar, dada una superficie hiperbólica S y una representación discreta, si existe un mapa continuo inducido .
Para las representaciones kleinianas de grupos de superficies, el resultado más general en esta dirección se debe a Mahan Mj (2014). [3] Sea S una superficie hiperbólica de volumen finito conectada completa. Por tanto, S es una superficie sin límite, con un conjunto finito (posiblemente vacío) de cúspides. Entonces uno todavía tiene y (incluso si S tiene algunas cúspides). En este contexto, Mj [3] demostró el siguiente teorema:
- Sea S una superficie hiperbólica de volumen finito conectada completa y sea . Dejar Sea una representación fiel discreta sin parabólicos accidentales. Luego induce un mapa continuo H -equariante .
Aquí la suposición "sin parabólicos accidentales" significa que para , el elemento es una isometría parabólica de si y solo si es una isometría parabólica de . Una de las aplicaciones importantes de este resultado es que, en la situación anterior, el límite establecido está conectado localmente.
Este resultado de Mj fue precedido por muchos otros resultados en la misma dirección, como Minsky (1994), [4] Alperin, Dicks y Porti (1999), [5] McMullen (2001), [6] Bowditch (2007) [ 7] y (2013), [8] Miyachi (2002), [9] Souto (2006), [10] Mj (2009), [11] (2011), [12] y otros. En particular, el artículo de Bowditch de 2013 [8] introdujo la noción de una "pila" de espacios métricos hiperbólicos de Gromov y desarrolló un marco alternativo al de Mj para probar varios resultados sobre los mapas de Cannon-Thurston.
Grupos kleinianos generales
En un artículo de 2017 [13], Mj demostró la existencia del mapa Cannon-Thurston en el siguiente escenario:
- Dejar ser una representación fiel discreta donde G es un grupo hiperbólico de palabras , y donde no contiene isometrías parabólicas de . Luego induce un mapa G -equariante continuo , dónde es el límite de Gromov de G , y donde la imagen de j es el conjunto límite de G en .
Aquí "induce" significa que el mapa es continuo, donde y (para algún punto base ). En el mismo documento Mj obtiene una versión más general de este resultado, permitiendo G para contener parabólicas, bajo ciertos supuestos técnicos adicionales en G . También proporcionó una descripción de las fibras de j en términos de laminaciones finales de.
Mapas de Cannon-Thurston y grupos hiperbólicos de palabras
Resultados de existencia y no existencia
Sea G un grupo hiperbólico de palabras y sea H ≤ G un subgrupo tal que H también sea hiperbólico de palabras. Si la inclusión i : H → G se extiende a un mapa continuo ∂i : ∂H → ∂G entre sus límites hiperbólicos, el mapa ∂i se denomina mapa de Cannon-Thurston . Aquí "extiende" significa que el mapa entre compactaciones hiperbólicas, dada por , es continuo. En esta configuración, si el mapa ∂i existe, es único y H -equivarinat, y la imagen ∂i ( ∂H ) es igual al límite establecido .
Si H ≤ G es un subgrupo incrustado cuasi-isométricamente (es decir, cuasiconvexo), entonces el mapa de Cannon-Thurston ∂i : ∂H → ∂G existe y es una incrustación topológica . Sin embargo, resulta que el mapa Cannon-Thurston también existe en muchas otras situaciones.
Mitra demostró [14] que si G es hiperbólico de palabras y H ≤ G es un subgrupo hiperbólico de palabras normal , entonces existe el mapa de Cannon-Thurston. (En este caso, si H y Q = G / H son infinitos, entonces H no es cuasiconvexo en G. ) El teorema original de Cannon-Thurston acerca de las variedades 3 hiperbólicas con fibras es un caso especial de este resultado.
Si H ≤ G son dos grupos hiperbólicos de palabras y H es normal en G , entonces, por un resultado de Mosher, [15] el grupo cociente Q = G / H también es hiperbólico de palabras. En este contexto, Mitra también describió las fibras del mapa ∂i : ∂H → ∂G en términos de "laminaciones finales algebraicas" en H , parametrizadas por los puntos límite z ∈ ∂Q .
En otro artículo [16] Mitra consideró el caso donde un grupo G hiperbólico de palabras se divide como el grupo fundamental de un gráfico de grupos , donde todos los grupos de vértices y aristas son hiperbólicos de palabras, y los monomorfismos de aristas son incrustaciones cuasi-isométricas . En este escenario, Mitra demostró que para cada grupo de vértices, para el mapa de inclusión el mapa de Cannon-Thurston existe.
Al combinar e iterar estas construcciones, Mitra produjo [16] ejemplos de subgrupos hiperbólicos de grupos hiperbólicos H ≤ G donde la distorsión del subgrupo de H en G es una torre arbitrariamente alta de exponenciales, y el mapa de Cannon-Thurstonexiste. Más tarde Barker y Riley mostraron que se puede arreglar para H para tener arbitrariamente alto recursiva primitiva distorsión en G . [17]
En un artículo de 2013, [18] Baker y Riley construyeron el primer ejemplo de un grupo G hiperbólico de palabras y un subgrupo H ≤ G hiperbólico de palabras (de hecho, libre ) de modo que el mapa de Cannon-Thurstonno existe. Más tarde, Matsuda y Oguni generalizaron el enfoque de Baker-Riley y demostraron que cada grupo H de palabras hiperbólicas no elementales se puede incrustar en algún grupo G de palabras hiperbólicas de tal manera que el mapa de Cannon-Thurstonno existe. [19]
Multiplicidad del mapa Cannon-Thurston
Como se señaló anteriormente, si H es un subgrupo integrado cuasi-isométricamente de un grupo hiperbólico de palabras G , entonces H es hiperbólico de palabras y el mapa de Cannon-Thurstonexiste y es inyectable. Además, se sabe que lo contrario también es cierto: si H es un subgrupo hiperbólico de palabras de un grupo hiperbólico de palabras G tal que el mapa de Cannon-Thurstonexiste y es inyectiva, entonces H es UASI-isométricamente incrustado en G . [20]
Se sabe, por razones de grupos de convergencia más generales , que si H es un subgrupo hiperbólico de palabras de un grupo hiperbólico de palabras G, de modo que el mapa de Cannon-Thurstonexiste entonces para cada punto lmite cnico para H en tiene exactamente una imagen previa debajo . [21] Sin embargo, lo contrario falla: siexiste y no es inyectable, entonces siempre existe un punto límite no cónico de H en ∂G con exactamente una preimagen debajo de ∂i . [20]
Es el contexto del artículo original de Cannon-Thurston, y para muchas generalizaciones de las representaciones de Kleinin el mapa de Cannon-Thurston se sabe que es uniformemente finito a uno. [13] Eso significa que para cada punto, la imagen previa completa es un conjunto finito con cardinalidad delimitada por una constante que depende sólo en S . [22]
En general, se sabe, como consecuencia de la teoría de descomposición JSJ para grupos hiperbólicos de palabras , que sies una breve secuencia exacta de tres infinitos grupos hiperbólicos de palabras sin torsión, entonces H es isomorfo a un producto libre de algunos grupos de superficies cerrados y de un grupo libre .
Si es el grupo fundamental de una superficie hiperbólica cerrada S , tales extensiones hiperbólicas de H se describen mediante la teoría de subgrupos "cocompactos convexos" del grupo de clases de mapeo Mod ( S ). Cada subgrupo Γ ≤ Mod ( S ) determina, a través de la secuencia corta exacta de Birman, una extensión
Además, el grupo es hiperbólico de palabra si y solo si Γ ≤ Mod ( S ) es convexo-cocompacto. En este caso, según el resultado general de Mitra, el mapa de Cannon-Thurston ∂i : ∂H → ∂E Γ sí existe. Las fibras del mapa ∂i se describen mediante una colección de laminaciones finales en S determinadas por Γ. Esta descripción implica que el mapa ∂i es uniformemente finito a uno.
Si es un subgrupo puramente atoroidal convexo-cocompacto de Fuera ( F norte ) {\ Displaystyle \ operatorname {Out} (F_ {n})} (dónde ) luego para la extensión correspondiente el grupo es hiperbólico de palabras. En este escenario, Dowdall, Kapovich y Taylor demostraron [23] que el mapa Cannon-Thurston es uniformemente finito a uno, con preimágenes puntuales que tienen cardinalidad . Este resultado fue probado por primera vez por Kapovich y Lustig [24] bajo el supuesto adicional de que es cíclico infinito, es decir, que es generado por un elemento autoroidal totalmente irreducible de.
Ghosh demostró que para un atoroide arbitrario (sin requerir ser convexo cocompacto) el mapa de Cannon-Thurston es uniformemente finito a uno, con un límite en la cardinalidad de las preimágenes puntuales que dependen sólo de n . [25] (Sin embargo, el resultado de Ghosh no proporciona un límite explícito en términos de n , y aún se desconoce si el límite 2 n siempre se cumple en este caso).
Sigue siendo desconocido, siempre que H sea un subgrupo hiperbólico de palabras de un grupo G hiperbólico de palabras tal que el mapa de Cannon-Thurston existe, si el mapa es finito a uno. Sin embargo, se sabe que en este entorno para cadatal que p es un punto límite cónico , el conjunto tiene cardinalidad 1.
- Como una aplicación del resultado sobre la existencia de mapas de Cannon-Thurston para representaciones de grupos de superficie kleinianos, Mj demostró [3] que si es un grupo kleiniano finitamente generado tal que el límite establecido está conectado, entonces está conectado localmente.
- Leininger, Mj y Schleimer, [26] dada una superficie hiperbólica cerrada S , construyeron un mapa de Cannon-Thurston 'universal' a partir de un subconjunto de a la frontera de la curva compleja de S con una punción, de manera que este mapa, en un sentido preciso, codifica todo el cañón-Thurston mapas correspondientes a las laminaciones que terminan arbitrarios en S . Como aplicación, demuestran queestá conectado a una ruta y a una ruta local.
- Leininger, Long y Reid [27] utilizaron mapas de Cannon-Thurston para mostrar que cualquier grupo kleiniano no libre libre de torsión generado finitamente con un límite establecido igual a, que no es una celosía y no contiene elementos parabólicos, tiene un conmensurador discreto en .
- Jeon y Ohshika [28] utilizaron mapas de Cannon-Thurston para establecer una rigidez medible para los grupos kleinianos.
- Las inclusiones de grupos relativamente hiperbólicos como subgrupos de otros grupos relativamente hiperbólicos en muchos casos también inducen mapas continuos equivariantes entre sus límites de Bowditch; estos mapas también se conocen como mapas de Cannon-Thurston. [3] [29] [30] [19]
- De manera más general, si G es un grupo que actúa como un grupo de convergencia discreto en dos compacta M y Z metrizables , un mapa continuo G -equivariante M → Z (si tal mapa existe) también se conoce como mapa de Cannon-Thurston. De particular interés en esta configuración es el caso en el que G es la palabra-hiperbólica y M = ∂G es el límite hiperbólica de G , o donde G es relativamente hiperbólica y M = ∂G es el límite Bowditch de G . [20]
- Mj y Pal [29] obtuvieron una generalización del resultado anterior de Mitra para gráficos de grupos al contexto relativamente hiperbólico .
- Pal [30] obtuvo una generalización del resultado anterior de Mitra, sobre la existencia del mapa de Cannon-Thurston para secuencias cortas y exactas de grupos hiperbólicos de palabras, a contextos relativamente hiperbólicos.
- Mj y Rafi [31] utilizaron el mapa de Cannon-Thurston para estudiar qué subgrupos son cuasiconvexos en extensiones de grupos libres y grupos de superficie por subgrupos cocompactos convexos de y de mapeo de grupos de clases.
Referencias
- ^ a b James W. Cannon; William P. Thurston (2007). "Grupo de curvas de Peano invariantes" . Geometría y topología . 11 (3): 1315-1356. doi : 10.2140 / gt.2007.11.1315 . Señor 2326947 .
- ^ Darryl McCullough, MR2326947 (2008i: 57016), revisiones matemáticas , revisión de: JW Cannon y WP Thurston, curvas de Peano invariantes de grupo, Geom. Topol. 11 (2007), 1315-1355; Este influyente artículo data de mediados de los años ochenta. De hecho, se hace referencia a las versiones preimpresas en más de 30 artículos publicados, que se remontan a 1990 ”.
- ^ a b c d Mahan Mj (2014). "Mapas de Cannon-Thurston para grupos de superficie". Annals of Mathematics . 179 (1): 1–80. arXiv : matemáticas / 0607509 . doi : 10.4007 / annals.2014.179.1.1 . Señor 3126566 .
- ^ Yair Minsky (1994). "Sobre la rigidez, los conjuntos de límites y los invariantes finales de 3-variedades hiperbólicas" (PDF) . Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 7 (3): 539–588. doi : 10.2307 / 2152785 . JSTOR 2152785 . Señor 1257060 .
- ^ Roger C. Alperin; Warren Dicks; Joan Porti (1999). "El límite del árbol de Gieseking en tres espacios hiperbólicos" . Topología y sus aplicaciones . 93 (3): 219-259. doi : 10.1016 / S0166-8641 (97) 00270-8 . Señor 1688476 .
- ^ Curtis T. McMullen (2001). "Conectividad local, grupos kleinianos y geodésicas sobre la explosión del toro" . Inventiones Mathematicae . 146 (1): 35–91. Código Bibliográfico : 2001InMat.146 ... 35M . doi : 10.1007 / PL00005809 . Señor 1859018 .
- ^ Brian H. Bowditch (2007). "El mapa de Cannon-Thurston para grupos de superficies perforadas" . Mathematische Zeitschrift . 255 : 35–76. doi : 10.1007 / s00209-006-0012-4 . Señor 2262721 .
- ^ a b Brian H. Bowditch (2013). "Pilas de espacios hiperbólicos y extremos de 3 colectores". En Craig D. Hodgson; William H. Jaco; Martin G. Scharlemann; Stephan Tillmann (eds.). Geometría y topología hacia abajo . Matemáticas contemporáneas, 597. American Mathematical Society. págs. 65-138. ISBN 978-0-8218-8480-5.
- ^ Hideki Miyachi, Semiconjugacies entre acciones de grupos kleinianos topológicamente domesticados , 2002, preimpresión
- ^ Juan Souto (2006). "Mapas de Cannon-Thurston para grupos libres gruesos" . Preimpresión .
- ^ Mahan Mj (2009). "Mapas de Cannon-Thurston para variedades recortadas de geometría limitada". Geometría y topología . 13 : 89–245. Señor 2469517 .
- ^ Mahan Mj (2011). "Mapas de Cannon-Thurston, geometría i-acotada y un teorema de McMullen". Actes du Séminaire de Théorie Spectrale et Géometrie. Volumen 28. Année 2009-2010 . Seminario de Teoría y Geometría Espectrales, vol. 28. Univ. Grenoble I.
- ^ a b Mahan Mj (2017). "Mapas de Cannon-Thurston para grupos kleinianos" (PDF) . Foro de Matemáticas, Pi . 5 . doi : 10.1017 / fmp.2017.2 . Señor 3652816 .
- ^ Mahan Mitra (1998). "Mapas de Cannon-Thurston para extensiones de grupos hiperbólicos" . Topología . 37 (3): 527–538. doi : 10.1016 / S0040-9383 (97) 00036-0 . Señor 1604882 .
- ^ Lee Mosher (1997). "Un grupo hiperbólico hiperbólico por hiperbólico" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 125 (12): 3447–3455. doi : 10.1090 / S0002-9939-97-04249-4 . Señor 1443845 .
- ^ a b Mahan Mitra, Mahan (1998). "Mapas de Cannon-Thurston para árboles de espacios métricos hiperbólicos" . Revista de geometría diferencial . 48 (1): 135-164. doi : 10.4310 / jdg / 1214460609 . Señor 1622603 .
- ^ Owen Baker; Timothy R. Riley (2020). "Mapas de Cannon-Thurston, distorsión de subgrupos e hidra hiperbólica". Grupos, geometría y dinámica . 14 (1): 255–282. arXiv : 1209.0815 . doi : 10.4171 / ggd / 543 . Señor 4077662 .
- ^ Owen Baker; Timothy R. Riley (2013). "Los mapas de Cannon-Thurston no siempre existen" (PDF) . Foro de Matemáticas Sigma . 1 . doi : 10.1017 / fms.2013.4 . Señor 3143716 .
- ^ a b Yoshifumi Matsuda; Shin-ichi Oguni (2014). "En mapas de Cannon-Thurston para grupos relativamente hiperbólicos" . Revista de teoría de grupos . 17 (1): 41–47. arXiv : 1206.5868 . doi : 10.1515 / jgt-2013-0024 . Señor 3176651 .
- ^ a b c Woojin Jeon; Ilya Kapovich; Christopher Leininger; Ken'ichi Ohshika (2016). "Puntos límite cónicos y el mapa Cannon-Thurston" . Geometría y dinámica conformadas . 20 (4): 58–80. doi : 10.1090 / ecgd / 294 . Señor 3488025 .
- ^ Víctor Gerasimov (2012). "Mapas de Floyd para grupos relativamente hiperbólicos". Análisis geométrico y funcional . 22 (5): 1361-1399. arXiv : 1001.4482 . doi : 10.1007 / s00039-012-0175-6 . Señor 2989436 .
- ^ Mahan Mj, Mahan (2018). "Mapas de Cannon-Thurston". Actas del Congreso Internacional de Matemáticos — Río de Janeiro 2018. Vol. II. Conferencias invitadas (PDF) . World Sci. Publ., Hackensack, Nueva Jersey. págs. 885–917. ISBN 978-981-3272-91-0.
- ^ Spencer Dowdall; Ilya Kapovich; Samuel J. Taylor (2016). "Mapas de Cannon-Thurston para extensiones de grupo libres hiperbólicas". Revista de Matemáticas de Israel . 216 (2): 753–797. arXiv : 1506.06974 . doi : 10.1007 / s11856-016-1426-2 . Señor 3557464 .
- ^ Ilya Kapovich y Martin Lustig (2015). "Fibras de Cannon-Thurston para automorfismos iwip de F N ". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 91 (1): 203–224. arXiv : 1207.3494 . doi : 10.1112 / jlms / jdu069 . Señor 3335244 .
- ^ Pritam Ghosh (2020). "Límites de clases de conjugación bajo iteraciones de elementos hiperbólicos de Out (.)" Grupos, Geometría y Dinámica . 14 (1):. 177-211 doi : 10.4171 / GGD / 540 . MR 4.077.660 .
- ^ Christopher J. Leininger; Mahan Mj; Saul Schleimer (2011). "El mapa universal de Cannon-Thurston y el límite del complejo de curvas". Commentarii Mathematici Helvetici . 86 (4): 769–816. Señor 2851869 .
- ^ Christopher J. Leininger; Darren D. Long; Alan W. Reid (2011). "Conmensuradores de grupos kleinianos no libres finamente generados" . Topología algebraica y geométrica . 11 (1): 605–624. doi : 10.2140 / agt.2011.11.605 . Señor 2783240 .
- ^ Woojin Jeon; Ken'ichi Ohshika (2016). "Rigidez medible para grupos kleinianos". Teoría ergódica y sistemas dinámicos . 36 (8): 2498-2511. arXiv : 1406.4594 . doi : 10.1017 / etds.2015.15 . Señor 3570022 .
- ^ a b Mahan Mj; Abhijit Pal (2011). "Hiperbolicidad relativa, árboles de espacios y mapas de Cannon-Thurston". Geometriae Dedicata . 151 : 59–78. arXiv : 0708.3578 . doi : 10.1007 / s10711-010-9519-2 . Señor 2780738 .
- ^ a b Abhijitn Pal (2010). "Extensiones relativamente hiperbólicas de grupos y mapas de Cannon-Thurston". Proc. Indian Acad. Sci. Matemáticas. Sci . 120 (1): 57–68. doi : 10.1007 / s12044-010-0009-0 . Señor 2654898 .
- ^ Mahan Mj; Kasra Rafi (2018). "Laminaciones finales algebraicas y cuasiconvexidad". Topología algebraica y geométrica . 18 (4): 1883-1916. arXiv : 1506.08036 . doi : 10.2140 / agt.2018.18.1883 . Señor 3797060 .
Otras lecturas
- Mahan Mj, Mahan (2018). "Mapas de Cannon-Thurston". Actas del Congreso Internacional de Matemáticos — Río de Janeiro 2018. Vol. II. Conferencias invitadas (PDF) . World Sci. Publ., Hackensack, Nueva Jersey. págs. 885–917. ISBN 978-981-3272-91-0.