En matemáticas, el límite de Gromov de un espacio δ-hiperbólico (especialmente un grupo hiperbólico ) es un concepto abstracto que generaliza la esfera límite del espacio hiperbólico . Conceptualmente, el límite de Gromov es el conjunto de todos los puntos en el infinito . Por ejemplo, el límite de Gromov de la línea real son dos puntos, correspondientes al infinito positivo y negativo.
Definición
Hay varias definiciones equivalentes del límite de Gromov de un espacio geodésico y δ-hiperbólico propio. Una de las clases de equivalencia de usos más comunes de los rayos geodésicos . [1]
Elige algún punto de un espacio métrico hiperbólico ser el origen. Un rayo geodésico es un camino dado por una isometría tal que cada segmento es un camino de menor longitud desde a .
Dos geodésicas se definen como equivalentes si hay una constante tal que para todos . La clase de equivalencia de se denota .
El límite de Gromov de un espacio métrico hiperbólico geodésico y adecuado es el set es un rayo geodésico en .
Topología
Es útil utilizar el producto de Gromov de tres puntos. El producto de Gromov de tres puntos en un espacio métrico es . En un árbol (teoría de grafos) , mide la longitud de las trayectorias desde a y permanecer juntos antes de divergir. Dado que los espacios hiperbólicos tienen forma de árbol, el producto Gromov mide cuánto tiempo transcurren las geodésicas desde a y permanezca cerca antes de divergir.
Dado un punto en el límite de Gromov, definimos los conjuntos hay rayos geodésicos con y . Estos conjuntos abiertos forman una base para la topología del límite de Gromov.
Estos conjuntos abiertos son solo el conjunto de rayos geodésicos que siguen un rayo geodésico fijo hasta una distancia antes de divergir.
Esta topología convierte el límite de Gromov en un espacio compacto metrizable .
El número de extremos de un grupo hiperbólico es el número de componentes del límite de Gromov.
Propiedades del límite de Gromov
El límite de Gromov tiene varias propiedades importantes. Una de las propiedades más utilizadas en la teoría de grupos es la siguiente: si un grupo actúa geométricamente en un espacio δ-hiperbólico , entonceses un grupo hiperbólico y y tienen límites homeomórficos de Gromov. [2]
Una de las propiedades más importantes es que es una cuasi-isometría invariante; es decir, si dos espacios métricos hiperbólicos son cuasi-isométricos, entonces la cuasi-isometría entre ellos da un homeomorfismo entre sus límites. [3] [4] Esto es importante porque los homeomorfismos de espacios compactos son mucho más fáciles de entender que las cuasi-isometrías de espacios.
Ejemplos de
- El límite de Gromov de un árbol es un espacio de Cantor .
- El límite de Gromov del espacio n hiperbólico es una esfera (n-1) dimensional .
- El límite de Gromov del grupo fundamental de una superficie compacta de Riemann es el círculo unitario.
- El límite de Gromov de la mayoría de los grupos hiperbólicos es una esponja de Menger . [5]
Generalizaciones
Límite visual del espacio CAT (0)
Para un espacio CAT (0) completo X , el límite visual de X , como el límite de Gromov del espacio δ-hiperbólico, consiste en una clase de equivalencia de rayos geodésicos asintóticos. Sin embargo, el producto Gromov no se puede utilizar para definir una topología en él. Por ejemplo, en el caso de un plano plano, cualesquiera dos rayos geodésicos procedentes de un punto que no se dirija en direcciones opuestas tendrán un producto de Gromov infinito con respecto a ese punto. En cambio, el límite visual está dotado de la topología de cono . Fijar un punto o en X . Cualquier punto límite puede ser representado por un rayo geodésico único que sale de o . Dado un rayo emitiendo desde o , y números positivos t > 0 y r > 0, una base de vecindad en el punto límite viene dado por conjuntos de la forma
La topología de cono definida anteriormente es independiente de la elección de o .
Si X es apropiado , entonces el límite visual con la topología del cono es compacto . Cuando X es tanto CAT (0) como un espacio geodésico δ-hiperbólico adecuado, la topología del cono coincide con la topología del límite de Gromov. [6]
Conjetura de Cannon
La conjetura de Cannon se refiere a la clasificación de grupos con 2 esferas en el infinito:
Conjetura de Cannon : Cada grupo hiperbólico de Gromov con una esfera 2 en el infinito actúa geométricamente en el espacio 3 hiperbólico . [7]
Se sabe que la analogía de esta conjetura es verdadera para las esferas 1 y falsa para las esferas de todas las dimensiones mayores que 2.
Notas
- ^ Kapovich y Benakli 2002
- ^ Gromov 1987
- ^ Coornaert, Delzant y Papadopoulos 1990
- ^ Ghys y de la Harpe 1996
- ^ Champetier 1995
- ^ Bridson y Haefliger 1999
- ^ Cañón 1994
Referencias
- Bridson, Martin R .; Haefliger, André (1999), espacios métricos de curvatura no positiva , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 319 , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64324-9, MR 1744486
- Cannon, James W. (1994), "La combinatoria de Riemann mapeo teorema ' ", Acta Mathematica , 173 (2): 155-234, doi : 10.1007 / bf02398434
- Champetier, C. (1995), "Propriétés statistiques des groupes de presentation finie", Advances in Mathematics , 116 : 197-262, doi : 10.1006 / aima.1995.1067
- Coornaert, M .; Delzant, T .; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov , Lecture Notes in Mathematics (en francés), 1441 , Springer-Verlag, ISBN 3-540-52977-2
- de la Harpe, Pierre; Ghys, Etienne (1990), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (en francés), Birkhäuser
- Gromov, M. (1987), "Grupos hiperbólicos", en S. Gersten (ed.), Ensayos en teoría de grupos , Matemáticas. Sci. Res. Inst. Publ., 8 , Springer, págs. 75–263
- Kapovich, Ilya; Benakli, Nadia (2002), "Límites de grupos hiperbólicos", Teoría de grupos combinatoria y geométrica , Matemáticas contemporáneas, 296 , págs. 39-93
- Roe, John (2003), Lectures on Coarse Geometry , University Lecture Series, 31 , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3332-2