En álgebra abstracta , un módulo de dualización , también llamado módulo canónico , es un módulo sobre un anillo conmutativo que es análogo al paquete canónico de una variedad suave . Se utiliza en la dualidad local de Grothendieck .
Definición
Un módulo de dualización para un anillo noetheriano R es un módulo M generado finitamente tal que para cualquier m ideal máximo , el espacio vectorial R / m Ext n
R( R / m , M ) desaparece si n ≠ altura ( m ) y es unidimensional si n = altura ( m ).
Un módulo de dualización no necesita ser único porque el producto tensorial de cualquier módulo de dualización con un módulo proyectivo de rango 1 es también un módulo de dualización. Sin embargo, esta es la única forma en que el módulo de dualización deja de ser único: dados dos módulos de dualización cualesquiera, uno es isomorfo al producto tensorial del otro con un módulo proyectivo de rango 1. En particular, si el anillo es local, el módulo de dualización es único hasta el isomorfismo.
Un anillo noetheriano no necesariamente tiene un módulo de dualización. Cualquier anillo con un módulo de dualización debe ser Cohen-Macaulay . Por el contrario, si un anillo de Cohen-Macaulay es un cociente de un anillo de Gorenstein, entonces tiene un módulo de dualización. En particular, cualquier anillo Cohen-Macaulay local completo tiene un módulo de dualización. Para los anillos sin un módulo de dualización, a veces es posible utilizar el complejo de dualización como sustituto.
Ejemplos de
Si R es un anillo de Gorenstein, entonces R considerado como un módulo sobre sí mismo es un módulo de dualización.
Si R es un anillo local Artiniano , entonces el módulo Matlis de R (el casco inyectivo del campo de residuos) es el módulo dualizador.
El anillo de Artinian local de R = k [ x , y ] / ( x 2 , y 2 , xy ) tiene un módulo de dualización único, pero no es isomorfo a R .
El anillo Z [ √ –5 ] tiene dos módulos de dualización no isomórficos, correspondientes a las dos clases de ideales invertibles.
El anillo local k [ x , y ] / ( y 2 , xy ) no es Cohen-Macaulay, por lo que no tiene un módulo de dualización.
Ver también
Referencias
- Bourbaki, N. (2007), Algèbre conmutativo. Chapitre 10 , Éléments de mathématique (en francés), Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3-540-34394-3, MR 2333539
- Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), anillos Cohen-Macaulay , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-41068-7, MR 1251956