En álgebra , la dualidad de Matlis es una dualidad entre módulos artinianos y noetherianos sobre un anillo local noetheriano completo . En el caso especial en el que el anillo local tiene un campo [ aclaración necesaria ] que se asigna al campo de residuos , está estrechamente relacionado con el trabajo anterior de Francis Sowerby Macaulay sobre anillos polinómicos y, a veces, se denomina dualidad de Macaulay , y el caso general fue presentado por Matlis ( 1958 ).
Suponga que R es un anillo local completo de Noether con un campo de residuos k , y elija E para que sea un casco inyectivo de k (a veces llamado módulo de Matlis ). El D R dual ( M ) de un módulo M se define como Hom R ( M , E ). Entonces la dualidad de Matlis establece que el funtor de dualidad DR da una anti-equivalencia entre las categorías de Artinian y Noetherian R-módulos. En particular, el funtor de dualidad da una anti-equivalencia de la categoría de módulos de longitud finita a sí mismo.
Supongamos que el anillo local completo noetheriano R tiene un subcampo k que se mapea en un subcampo de índice finito de su campo residual R / m . Entonces, el dual de Matlis de cualquier módulo R es solo su dual como un espacio vectorial topológico sobre k , si al módulo se le da su topología m -ádica. En particular, el dual de R como espacio vectorial topológico sobre k es un módulo de Matlis. Este caso está estrechamente relacionado con el trabajo de Macaulay sobre anillos polinómicos graduados y, a veces, se denomina dualidad de Macaulay.
Si R es un anillo de valoración discreto con campo de cociente K , entonces el módulo de Matlis es K / R . En el caso especial en que R es el anillo de números p -ádicos , el dual de Matlis de un módulo finitamente generado es el dual de Pontryagin considerado como un grupo abeliano localmente compacto .
Si R es un anillo local de Cohen-Macaulay de dimensión d con módulo de dualización Ω, entonces el módulo de Matlis viene dado por el grupo de cohomología local HdR
_(Ω). En particular, si R es un anillo local artiniano, entonces el módulo Matlis es el mismo que el módulo de dualización.
La dualidad de Matlis se puede explicar conceptualmente utilizando el lenguaje de los funtores adjuntos y las categorías derivadas : [1] el funtor entre las categorías derivadas de los módulos R y k inducidos al considerar un módulo k como un módulo R , admite un adjunto derecho ( Hom interno derivado )