espacio cantor
En matemáticas , un espacio de Cantor , llamado así por Georg Cantor , es una abstracción topológica del conjunto de Cantor clásico : un espacio topológico es un espacio de Cantor si es homeomorfo al conjunto de Cantor . En la teoría de conjuntos , el espacio topológico 2 ω se llama "el" espacio de Cantor.
El propio conjunto de Cantor es un espacio de Cantor. Pero el ejemplo canónico de un espacio de Cantor es el producto topológico infinito numerable del espacio discreto de 2 puntos {0, 1}. Esto generalmente se escribe como o 2 ω (donde 2 denota el conjunto de 2 elementos {0,1} con la topología discreta). Un punto en 2 ω es una secuencia binaria infinita, es decir, una secuencia que asume solo los valores 0 o 1. Dada tal secuencia a 0 , a 1 , a 2 ,..., se puede asignar al número real
Este mapeo da un homeomorfismo de 2 ω al conjunto de Cantor , demostrando que 2 ω es de hecho un espacio de Cantor.
Los espacios de Cantor ocurren abundantemente en el análisis real . Por ejemplo, existen como subespacios en todo espacio métrico perfecto y completo . (Para ver esto, tenga en cuenta que en tal espacio, cualquier conjunto perfecto no vacío contiene dos subconjuntos perfectos no vacíos disjuntos de diámetro arbitrariamente pequeño, por lo que uno puede imitar la construcción del conjunto de Cantor habitual ). Además, todo incontable, separable , el espacio completamente metrizable contiene espacios de Cantor como subespacios. Esto incluye la mayoría de los tipos comunes de espacios en el análisis real.
La propiedad topológica de tener una base que consta de conjuntos abiertos a veces se conoce como "dimensionalidad cero". El teorema de Brouwer se puede reformular como:
Este teorema también es equivalente (a través del teorema de representación de Stone para álgebras booleanas ) al hecho de que dos álgebras booleanas sin átomos contables son isomorfas.