En matemáticas , la identidad de Capelli , llamada así por Alfredo Capelli ( 1887 ), es un análogo de la fórmula det ( AB ) = det ( A ) det ( B ), para ciertas matrices con entradas no conmutadas, relacionada con la teoría de la representación del álgebra de Lie. . Se puede usar para relacionar un invariante ƒ con el invariante Ω ƒ , donde Ω es el proceso Ω de Cayley .
Declaración
Suponga que x ij para i , j = 1, ..., n son variables de conmutación. Escriba E ij para el operador de polarización
La identidad de Capelli establece que los siguientes operadores diferenciales, expresados como determinantes, son iguales:
Ambos lados son operadores diferenciales. El determinante de la izquierda tiene entradas que no viajan diariamente y se expande con todos los términos conservando su orden "de izquierda a derecha". Este determinante a menudo se denomina determinante de columna , ya que se puede obtener mediante la expansión de la columna del determinante a partir de la primera columna. Puede escribirse formalmente como
donde en el producto vienen primero los elementos de la primera columna, luego de la segunda y así sucesivamente. El determinante de la extrema derecha es el proceso omega de Cayley , y el de la izquierda es el determinante de Capelli.
Los operadores E ij se pueden escribir en forma de matriz:
dónde son matrices con elementos E ij , x ij ,respectivamente. Si todos los elementos de estas matrices fueran conmutativos, entonces claramente. La identidad de Capelli muestra que, a pesar de la no conmutatividad, existe una "cuantificación" de la fórmula anterior. El único precio por la no conmutatividad es una pequeña corrección:en el lado izquierdo. Para fórmulas de matrices no conmutativas genéricas como
no existen, y la noción de "determinante" en sí misma no tiene sentido para las matrices genéricas no conmutativas. Es por eso que la identidad de Capelli todavía tiene cierto misterio, a pesar de que se ofrecen muchas pruebas. No parece existir una prueba muy breve. La verificación directa de la declaración se puede dar como un ejercicio para n = 2, pero ya es larga para n = 3.
Relaciones con la teoría de la representación
Considere el siguiente contexto un poco más general. Suponer que y son dos enteros y por , sean variables de conmutación. Redefinir por casi la misma fórmula:
con la única diferencia de que el índice de suma rangos desde a . Se puede ver fácilmente que tales operadores satisfacen las relaciones de conmutación:
Aquí denota el conmutador . Estas son las mismas relaciones de conmutación que satisfacen las matrices que tienen ceros en todas partes excepto en la posición , donde 1 se encuentra. (a veces se denominan unidades matriciales ). Por tanto, concluimos que la correspondenciadefine una representación del álgebra de Lie en el espacio vectorial de polinomios de .
Caso m = 1 y representación S k C n
Es especialmente instructivo considerar el caso especial m = 1; en este caso tenemos x i1 , que se abrevia como x i :
En particular, para los polinomios de primer grado se ve que:
De ahí la acción de restringido al espacio de polinomios de primer orden es exactamente lo mismo que la acción de las unidades matriciales en vectores en . Entonces, desde el punto de vista de la teoría de la representación, el subespacio de polinomios de primer grado es una subrepresentación del álgebra de Lie., que identificamos con la representación estándar en . Yendo más allá, se ve que los operadores diferencialespreservar el grado de los polinomios y, por lo tanto, los polinomios de cada grado fijo forman una subrepresentación del álgebra de Lie. Se puede ver además que el espacio de polinomios homogéneos de grado k se puede identificar con la potencia del tensor simétrico de la representación estándar .
También se puede identificar fácilmente la estructura de mayor peso de estas representaciones. El monomioes un vector de mayor peso , de hecho:para i < j . Su peso más alto es igual a ( k , 0, ..., 0), de hecho:.
Tal representación a veces se llama representación bosónica de . Fórmulas similares definir la llamada representación fermiónica, aquí son variables anti-desplazamientos. De nuevo, los polinomios de k -ésimo grado forman una subrepresentación irreducible que es isomórfica a es decir, potencia tensorial antisimétrica de . El mayor peso de dicha representación es (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0). Estas representaciones para k = 1, ..., n son representaciones fundamentales de.
Identidad de Capelli para m = 1
Volvamos a la identidad Capelli. Se puede probar lo siguiente:
la motivación de esta igualdad es la siguiente: considerar para algunas variables de desplazamiento . La matrizes de rango uno y, por tanto, su determinante es igual a cero. Elementos de la matrizestán definidos por fórmulas similares, sin embargo, sus elementos no conmutan. La identidad Capelli muestra que la identidad conmutativa: se puede conservar por el pequeño precio de corregir la matriz por .
Mencionemos también que se puede dar una identidad similar para el polinomio característico:
dónde . La contraparte conmutativa de esto es un simple hecho de que para matrices de rango = 1, el polinomio característico contiene solo el primer y segundo coeficientes.
Considere un ejemplo para n = 2.
Utilizando
vemos que esto es igual a:
El álgebra envolvente universal y su centro
Una propiedad interesante del determinante de Capelli es que conmuta con todos los operadores E ij , es decir, el conmutador es igual a cero. Puede generalizarse:
Considere cualquier elemento E ij en cualquier anillo, de manera que satisfaga la relación de conmutación, (para que puedan ser operadores diferenciales anteriores, unidades matriciales e ij o cualquier otro elemento) definen los elementos C k de la siguiente manera:
dónde
luego:
- elementos C k conmutan con todos los elementos E ij
- Los elementos C k pueden estar dados por fórmulas similares al caso conmutativo:
es decir, son sumas de los principales menores de la matriz E , módulo la corrección de Capelli . En particular, el elemento C 0 es el determinante de Capelli considerado anteriormente.
Estas declaraciones están interrelacionadas con la identidad de Capelli, como se discutirá más adelante, y de manera similar, la prueba corta de pocas líneas directas no parece existir, a pesar de la simplicidad de la formulación.
El álgebra envolvente universal
puede definirse como un álgebra generada por
- E ij
sujeto a las relaciones
solo. La proposición anterior muestra que los elementos C k pertenecen al centro de. Se puede demostrar que en realidad son generadores libres del centro de. A veces se les llama generadores Capelli . Las identidades de Capelli para ellos se discutirán a continuación.
Considere un ejemplo para n = 2.
Es inmediato comprobar ese elemento. viajar con . (Corresponde a un hecho obvio que la matriz identidad conmuta con todas las demás matrices). Más instructivo es comprobar la conmutatividad del segundo elemento con. Hagámoslo por:
Vemos que el determinante ingenuo no viajará con y la corrección de Capelli Es fundamental garantizar la centralidad.
M general y pares duales
Volvamos al caso general:
para n y m arbitrarios . La definición de los operadores E ij se puede escribir en forma de matriz:, dónde es matriz con elementos ; es matriz con elementos ; es matriz con elementos .
Identidades de Capelli-Cauchy-Binet
Para General m matriz E se da como producto de las dos matrices rectangulares: X y transpuesta a D . Si todos los elementos de estas matrices se conmute a continuación, se sabe que el determinante de E puede ser expresada por la denominada fórmula de Cauchy-Binet a través de los menores de X y D . También existe un análogo de esta fórmula para la matriz E nuevamente por el mismo precio leve de la corrección:
- ,
En particular (similar al caso conmutativo): si m
Mencionemos también que de manera similar al caso conmutativo (ver Cauchy-Binet para menores ), se puede expresar no solo el determinante de E , sino también sus menores a través de menores de X y D :
- ,
Aquí K = ( k 1 < k 2 <... < k s ), L = ( l 1 < l 2 <... < l s ), son índices múltiples arbitrarios; como sueledenota una submatriz de M formada por los elementos M k a l b . Preste atención a que la corrección de Capelli ahora contiene s , no n como en la fórmula anterior. Tenga en cuenta que para s = 1 , la corrección ( s - i ) desaparece y nos llevamos sólo la definición de E como producto de X y transpuesta a D . Mencionemos también que para el genérico K, L los menores correspondientes no conmutan con todos los elementos E ij , por lo que la identidad Capelli existe no solo para los elementos centrales.
Como corolario de esta fórmula y del polinomio característico del apartado anterior mencionamos lo siguiente:
dónde . Esta fórmula es similar al caso conmutativo, modulaen el lado izquierdo y t [n] en lugar de t n en el lado derecho.
Relación con pares duales
El interés moderno en estas identidades ha sido muy estimulado por Roger Howe, quien las consideró en su teoría de los pares duales reductivos (también conocida como dualidad de Howe). Para hacer el primer contacto con estas ideas, miremos con más precisión a los operadores. Estos operadores conservan el grado de polinomios. Veamos los polinomios de grado 1:, vemos que el índice l se conserva. Se puede ver que desde el punto de vista de la teoría de la representación los polinomios de primer grado pueden identificarse con la suma directa de las representaciones., aquí l -ésimo subespacio ( l = 1 ... m ) se amplía por, yo = 1, ..., n . Echemos otro vistazo a este espacio vectorial:
Tal punto de vista da la primera pista de simetría entre m y n . Para profundizar en esta idea considere:
Estos operadores vienen dados por las mismas fórmulas que renumeración modula , por lo tanto, con los mismos argumentos podemos deducir que formar una representación del álgebra de Lie en el espacio vectorial de polinomios de x ij . Antes de seguir adelante podemos mencionar la siguiente propiedad: operadores diferenciales conmutar con operadores diferenciales .
El grupo de la mentira actúa sobre el espacio vectorial de forma natural. Se puede demostrar que la acción correspondiente del álgebra de Lie viene dado por los operadores diferenciales y respectivamente. Esto explica la conmutatividad de estos operadores.
Las siguientes propiedades más profundas son verdaderas:
- Los únicos operadores diferenciales que se desplazan con son polinomios en , y viceversa.
- Descomposición del espacio vectorial de polinomios en una suma directa de productos tensoriales de representaciones irreducibles de y se puede administrar de la siguiente manera:
Los sumandos están indexados por los diagramas D de Young y las representacionesson mutuamente no isomorfos. Y diagrama determinar y viceversa.
- En particular la representación del gran grupo es multiplicidad libre, es decir, cada representación irreductible ocurre una sola vez.
Se observa fácilmente la fuerte similitud con la dualidad Schur-Weyl .
Generalizaciones
Se ha trabajado mucho sobre la identidad y sus generalizaciones. Aproximadamente dos docenas de matemáticos y físicos contribuyeron al tema, por nombrar algunos: R. Howe , B. Kostant [1] [2] Medallista de Fields A. Okounkov [3] [4] A. Sokal , [5] D. Zeilberger . [6]
Parece que históricamente las primeras generalizaciones fueron obtenidas por Herbert Westren Turnbull en 1948, [7] quien encontró la generalización para el caso de matrices simétricas (ver [5] [6] para tratamientos modernos).
Las otras generalizaciones se pueden dividir en varios patrones. La mayoría de ellos se basan en el punto de vista del álgebra de Lie. Tales generalizaciones consisten en cambiar el álgebra de Liea álgebras de Lie simples [8] y sus super [9] [10] (q) , [11] [12] y versiones actuales. [13] Además, la identidad se puede generalizar para diferentes pares duales reductivos . [14] [15] Y finalmente se puede considerar no sólo el determinante de la matriz E, sino su rastro permanente [16] de sus poderes e inmanentes. [3] [4] [17] [18] Mencionemos algunos artículos más; [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] aún la lista de referencias está incompleta. Se ha creído durante bastante tiempo que la identidad está íntimamente relacionada con las álgebras de Lie semi-simples. Sorprendentemente una nueva generalización puramente algebraica de la identidad se han encontrado en 2008 [5] por S. Caracciolo, A. Sportiello, AD Sokal que no tiene nada que ver con ningún álgebras de Lie.
Identidad de Turnbull para matrices simétricas
Considere matrices simétricas
Herbert Westren Turnbull [7] en 1948 descubrió la siguiente identidad:
La prueba combinatoria se puede encontrar en el artículo, [6] otra prueba y generalizaciones divertidas en el artículo, [5] ver también la discusión a continuación.
La identidad Howe-Umeda-Kostant-Sahi para matrices antisimétricas
Considere matrices antisimétricas
Luego
La identidad Caracciolo-Sportiello-Sokal para matrices de Manin
Considere dos matrices M e Y sobre algún anillo asociativo que satisfaga la siguiente condición
para algunos elementos Q il . O "en palabras": los elementos en j -ésima columna de M conmutan con elementos en k -ésima fila de Y a menos que j = k , y en este caso el conmutador de los elementos M ik e Y kl depende solo de i , l , pero no depende de k .
Suponga que M es una matriz de Manin (el ejemplo más simple es la matriz con elementos de conmutación).
Entonces, para el caso de la matriz cuadrada
Aquí Q es una matriz con elementos Q il , y diag ( n - 1, n - 2, ..., 1, 0) significa la matriz diagonal con los elementos n - 1, n - 2, ..., 1, 0 en la diagonal.
Ver [5] proposición 1,2' fórmula (1.15) página 4, nuestro Y es transpuesta a su B .
Evidentemente la identidad de Cappeli original es el caso particular de esta identidad. Además de esta identidad se puede ver que en la identidad del Capelli original se pueden considerar elementos
para funciones arbitrarias f ij y la identidad seguirá siendo verdadera.
La identidad Mukhin-Tarasov-Varchenko y el modelo de Gaudin
Declaración
Considere las matrices X y D como en la identidad de Capelli, es decir, con elementos y en la posición ( ij ).
Sea z otra variable formal (conmutando con x ). Sean A y B algunas matrices cuyos elementos son números complejos.
Aquí el primer determinante se entiende (como siempre) como determinante de columna de una matriz con entradas no conmutativas. El determinante de la derecha se calcula como si todos los elementos conmutan, y poniendo todo x y z de la izquierda, mientras que las derivaciones a la derecha. (Tal receta se llama ordenamiento de Wick en la mecánica cuántica ).
El sistema integrable cuántico de Gaudin y el teorema de Talalaev
La matriz
es una matriz Lax para el sistema de cadena de espín integrable cuántico de Gaudin. D. Talalaev resolvió el antiguo problema de la solución explícita para el conjunto completo de leyes de conservación de conmutación cuántica para el modelo de Gaudin, descubriendo el siguiente teorema.
Considerar
Entonces para todo i, j, z, w
es decir, H i ( z ) están generando funciones en z para los operadores diferenciales en x que todos conmutan. Por lo tanto, proporcionan leyes de conservación de conmutación cuántica para el modelo de Gaudin.
Permanentes, inmanentes, rastros: "identidades Capelli superiores"
La identidad original de Capelli es una declaración sobre determinantes. Posteriormente, se encontraron identidades análogas para permanentes , inmanentes y rastros. Basado en el documento de enfoque combinatorio de SG Williamson [26] fue uno de los primeros resultados en esta dirección.
Identidad de Turnbull para permanentes de matrices antisimétricas
Considere las matrices antisimétricas X y D con elementos x ij y derivaciones correspondientes, como en el caso de la identidad HUKS anterior.
Luego
Citemos: [6] "... se afirma sin prueba al final del artículo de Turnbull". Los propios autores siguen a Turnbull; al final de su artículo escriben:
“Dado que la prueba de esta última identidad es muy similar a la prueba del análogo simétrico de Turnbull (con un ligero giro), la dejamos como un ejercicio instructivo y agradable para el lector”.
La identidad se analiza profundamente en papel. [27]
Referencias
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